Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর যোগজ নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় যোগজ : [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এর যোগজ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=cot⁡−1xf(x)=\cot^{-1} x এবং y2=4ax,x2=4ayy^2=4 a x, x^2=4 a y.

মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

ধরি, x2=yx^2=y বা, 2xdx=dy2 x d x=d y বা, xdx=12dy\quad x d x=\frac{1}{2} d y ∫xex2dx=∫ey12dy=12∫eydy=12ey+c=12ex2+c\begin{aligned} & \int x e^{x^2} d x=\int e^y \frac{1}{2} d y \\ & =\frac{1}{2} \int e^y d y \\ & =\frac{1}{2} e^y+c=\frac{1}{2} e^{x^2}+c\end{aligned} নির্ণেয় যোগজ : 12ex2+c\frac{1}{2} e^{x^2}+c.

উত্তর

[বি. দ্র.: g(x)g(x) এর পরিবর্তে f(x)f(x) হবে) দেওয়া আছে, g(x)=cot⁡−1x∴∫13xg(x)dx=∫13xcot⁡−1xdx=[cot⁡−1x∫1xdx−{ddx(cot⁡x)∫1xdxdx]13=[x22cot⁡−1x+∫12x22+x2)dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫1211+x2dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫121−11+x2dx]13\begin{aligned} & g(x)=\cot^{-1} x \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x g(x) d x=\int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\cot^{-1} x \int_1 x d x-\left\{\frac{d}{d x}(\cot x) \int_1 x d x d x\right]_1^{\sqrt{3}}\right. \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\int_1^2 \frac{x^2}{\left.2+x^2\right)} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 1-\frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}}\end{aligned} =[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x+c]13∴∫13xcot⁡−1xdx=[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x]13=12[x2cot⁡−1x]13+12[x]13+12[cot⁡−1x]13=12[3cot⁡−13−cot⁡−1111]+12[3−1]+12(cot⁡−13−cot⁡−11)=12(3⋅π6−π4)+12(3−1)+12(π6−π4)=π4−π8+12(3−1)+π12−π8=12(3−1)+π12=12(3−1+π6)\begin{aligned} & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x+c\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[x^2 \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}[x]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\left[\cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[3 \cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} \frac{1}{11}\right]+\frac{1}{2}[\sqrt{3}-1] \\ & +\frac{1}{2}\left(\cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} 1\right) \\ & =\frac{1}{2}\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{8} \\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12} \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned} ইহাই নির্ণেয় মান।

উত্তর

question image এখানে, y2=4ax\mathrm{y}^2=4 \mathrm{ax} বা, x=y24ax=\frac{y^2}{4 a} আবার, x2=4ayx^2=4 a y বা, (y24a)2=4ay\left(\frac{y^2}{4 a}\right)^2=4 a y বা, y4=64a3yy^4=64 a^3 y \quad বা, y(y3−64a3)=0y\left(y^3-64 a^3\right)=0 ∴\therefore \quad হয়, y=0\mathrm{y}=0 অথবা, y3−64a3=0y^3-64 a^3=0 বা, y3=(4a)3y^3=(4 a)^3 ∴y=4a\therefore \quad y=4 a y=4a\quad y=4 a হলে, x2=16a2x^2=16 a^2 ∴x=4a\therefore \quad x=4 a ∴\therefore ছেদবিন্দু C (4 a, 4 a ̀) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ক্ষেত্র OACNOACN – ক্ষেত্র OBCNOBCN =∫04a(2a12x12−x24a)dx=2a12∫04ax12dx−14a∫04ax2dx=\int_0^{4 a}\left(2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}-\frac{x^2}{4 a}\right) d x=2 a^{\frac{1}{2}} \int_0^{4 a} x^{\frac{1}{2}} d x-\frac{1}{4 a} \int_0^{4 a} x^2 d x =2a12⋅23[(x3/2)]04a−14a[x33]04a=2 \mathrm{a}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3}\left[\left(\mathrm{x}^{3 / 2}\right)\right]_0^{4 \mathrm{a}}-\frac{1}{4 \mathrm{a}}\left[\frac{\mathrm{x}^3}{3}\right]_0^{4 \mathrm{a}} =4a123⋅(4a)32−14a⋅13(4a)3=323a12⋅a32−163a2=\frac{4 a^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot(4 a)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4 a} \cdot \frac{1}{3}(4 a)^3=\frac{32}{3} a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}-\frac{16}{3} a^2 =323a2−163a2=32a2−16a23=163a2=\frac{32}{3} a^2-\frac{16}{3} a^2=\frac{32 a^2-16 a^2}{3}=\frac{16}{3} a^2 নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 163a2\frac{16}{3} a^2 বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণমাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন