Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

[গণিত] নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=ln⁡xz = \ln x একটি লগারিদমিক ফাংশন। দৃশ্যকল্প-২: question image

আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2025

উত্তর

ধরি, 1+x2=z1+x^2=\mathrm{z} বা, 2xdx=dz2 \mathrm{xdx}=\mathrm{dz} ∴xdx=12dz\therefore \quad \mathrm{xdx}=\frac{1}{2} \mathrm{dz} ∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tan⁡−1x+∫x1+x2dx=tan⁡−1x+∫12dzz=tan⁡−1x+12∫1zdz\begin{aligned} & \int \frac{1+x}{1+x^2} d x \\ & =\int \frac{1}{1+x^2} d x+\int \frac{x}{1+x^2} d x \\ & =\tan^{-1} x+\int \frac{x}{1+x^2} d x \\ & =\tan^{-1} x+\int \frac{\frac{1}{2} d z}{z} \\ & =\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{z} d z\end{aligned} =tan⁡−1x+12ln⁡z+c;=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln z+c ; যেখানে cc যোগজীকরণ ধ্রুবক =tan⁡−1x+12ln⁡(1+x2)+c=\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)+c নির্ণেয় মান: tan⁡−1x+12ln⁡(1+x2)+c\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)+c

উত্তর

দেওয়া আছে, z=ln⁡xz=\ln x ধরি,I=∫sin⁡(z)dxI =\int \sin (z) d x =∫sin⁡(ln⁡x)dx=\int \sin (\ln x) d x =sin⁡(ln⁡x)∫dx−∫{ddxsin⁡(ln⁡x)∫dx}dx=\sin (\ln x) \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \sin (\ln x) \int d x\right\} d x =sin⁡(ln⁡x)⋅x−∫cos⁡(ln⁡x)1xxdx=\sin (\ln x) \cdot x-\int \cos (\ln x) \frac{1}{x} x d x =xsin⁡(ln⁡x)−∫cos⁡(ln⁡x)dx=x \sin (\ln x)-\int \cos (\ln x) d x =xsin⁡(ln⁡x)−[cos⁡(ln⁡x)∫dx−∫{ddxcos⁡(ln⁡x)∫dx}dx]=x \sin (\ln x)-\left[\cos (\ln x) \int d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \cos (\ln x) \int d x\right\} d x\right] =xsin⁡(ln⁡x)−[cos⁡(ln⁡x)⋅x+∫sin⁡(ln⁡x)⋅1x⋅xdx]=xsin⁡(ln⁡x)−xcos⁡(ln⁡x)−∫sin⁡(ln⁡x)dx=xsin⁡(ln⁡x)−xcos⁡(ln⁡x)−I+c∴I+I=x{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c2I=x{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c∴I=x2{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c∴∫sin⁡(z)dx=x2{sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)}+c.\begin{aligned} &=x \sin (\ln x)-\left[\cos (\ln x) \cdot x+\int \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x\right] \\ &=x \sin (\ln x)-x \cos (\ln x)-\int \sin (\ln x) d x \\ &=x \sin (\ln x)-x \cos (\ln x)-I+c \\ & \therefore \quad I+I=x\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \quad 2 I=x\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \therefore \quad I=\frac{x}{2}\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c \\ & \therefore \quad \int \sin (z) d x=\frac{x}{2}\{\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\}+c .\end{aligned}

উত্তর

question image ধরি, উপবৃত্তটি x232+y242=1\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{4^2}=1 বা, y242=1−x232=9−x29\frac{y^2}{4^2}=1-\frac{x^2}{3^2}=\frac{9-x^2}{9} বা, y=±439−x2y= \pm \frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} ∴y=439−x2\therefore y=\frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} [∵ প্রথম চতুর্ভাগে yy ধনাত্মক] এবং x−2=0x - 2 = 0 ∴ x=2x = 2 ধরি, x=3sin⁡θx=3 \sin \theta বা, dx=3cos⁡θdθd x=3 \cos \theta d \theta question image উপবৃত্ত ও রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =2∫23ydx=2∫23439−x2dx=2⋅43∫239−x2dx=2 \int_2^3 y d x=2 \int_2^3 \frac{4}{3} \sqrt{9-x^2} d x=2 \cdot \frac{4}{3} \int_2^3 \sqrt{9-x^2} d x =83∫239−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θdθ=83∫sin⁡−123π29(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θdθ\begin{aligned} & =\frac{8}{3} \int_2^3 \sqrt{9-(3 \sin \theta)^2} \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ & =\frac{8}{3} \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9\left(1-\sin^2 \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta d \theta\end{aligned} =83∫sin⁡−123π23cos⁡θ⋅3cos⁡θdθ=83×9∫sin⁡−123π2cos⁡2θdθ=4×3∫sin⁡−123π22cos⁡2θdθ=12∫sin⁡−123π2(1+cos⁡2θ)dθ\begin{aligned} & =\frac{8}{3} \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos \theta \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ & =\frac{8}{3} \times 9 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta \\ & =4 \times 3 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 \theta d \theta \\ & =12 \int_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta\end{aligned} =12[θ+sin⁡2θ2]−sin⁡−1π3=12[θ+2sin⁡θ⋅cos⁡θ2]sin⁡−123π2=12[(π2+sin⁡π2⋅cos⁡π2)−(sin⁡−123+23⋅53)]\begin{aligned} & =12\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{-\sin }-1 \frac{\pi}{3} \\ & =12\left[\theta+\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{2}\right]_{\sin^{-1} \frac{2}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\ & =12\left[\left(\frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin^{-1} \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}\right)\right]\end{aligned} =12(π2+0−sin⁡−123−259)=12(π2−sin⁡−123−259)\begin{aligned} & =12\left(\frac{\pi}{2}+0-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right) \\ & =12\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right)\end{aligned} ∴sin⁡−123=cos⁡−153\therefore \sin^{-1} \frac{2}{3}=\cos^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3} question image নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : 12(π2−sin⁡−123−259)12\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{2 \sqrt{5}}{9}\right) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণআদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন