Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক হতে [গণিত] এর মূল নিয়মে অন্তরंজ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক হতে এর মূল নিয়মে অন্তরंজ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=log⁡3xf(\mathrm{x})=\log_3 \mathrm{x} y=2x…(i)\mathrm{y}=2 \mathrm{x} \ldots (i) x2+y2=8x…(ii)\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=8 \mathrm{x} \ldots (ii)

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x,g(x)=exf(x)=\sin x, g(x)=e^x ∴g(sin⁡x)=esin⁡x\therefore g(\sin x)=e^{\sin x} Lt⁡x→0 g(sin⁡x)−1f(x)=Lt⁡x→0esin⁡x−1sin⁡x\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{~g}(\sin x)-1}{f(x)}=\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1}{\sin x} =Lt⁡x→0−1+1+sin⁡x+sin⁡2x2!+…..sin⁡x[∵ex=1+x1!+x22!+x33!+….]=\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \frac{-1+1+\sin x+\frac{\sin^2 x}{2!}+\ldots . .}{\sin x}\left[\because e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots.\right] =Lt⁡x→0[1+sin⁡x2!+…….]=1=\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\sin x}{2!}+\ldots \ldots.\right]=1 নির্ণেয় মান: 1.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=log⁡3xf(x) =\log_3 x =log⁡3elog⁡ex=\log_3 \mathrm{e} \log_{\mathrm{e}} \mathrm{x} বা, f(x)=log⁡3eln⁡xf(x) =\log_3 \mathrm{e} \ln \mathrm{x} ∴f(x+h)=log⁡3eln⁡(x+h)\therefore f(x+h) =\log_3 \mathrm{e} \ln (x+h) মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, ddxf(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\frac{d}{d x} f(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ∴ddx(log⁡3x)=lim⁡h→0log⁡3eln⁡(x+h)−log⁡3eln⁡xh\therefore \frac{d}{d x}\left(\log_3 x\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log_3 e \ln (x+h)-\log_3 e \ln x}{h} =log⁡3elim⁡h→0ln⁡(x+h)−ln⁡xh=log⁡3elim⁡h→01h⋅ln⁡(x+hx)=\log_3 e \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}=\log_3 e \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot \ln \left(\frac{x+h}{x}\right) =log⁡3eh→0lim⁡h→0ln⁡(1+hx)=log⁡3elim⁡h→01h{hx−h22x2+h32x3−…...}=\log_3 e_{h \rightarrow 0} \lim_{h \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{h}{x}\right)=\log_3 e \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{h}{x}-\frac{h^2}{2 x^2}+\frac{h^3}{2 x^3}-\ldots . . .\right\} =log⁡3elim⁡h→01hhx{1−h2x+h23x2−…..}}\left.=\log_3 e \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{h}{x}\left\{1-\frac{h}{2 x}+\frac{h^2}{3 x^2}-\ldots . .\right\}\right\} =log⁡3e1x(1−0)=1xlog⁡3e=\log_3 e \frac{1}{x}(1-0)=\frac{1}{x} \log_3 e ∴ddx(log⁡3x)=1xlog⁡3e.\therefore \frac{d}{d x}\left(\log_3 x\right)=\frac{1}{x} \log_3 e .

উত্তর

দেওয়া আছে, y=2x\mathbf{y}=2 \mathrm{x} এবং x2+y2=8xx^2+y^2=8 x (i) ও (ii) থেকে পাই, x2+(2x)2=8xx^2+(2 x)^2=8 x বা, x2+4x2=8xx^2+4 x^2=8 x বা, 5x2−8x=05 x^2-8 x=0 বা, x(5x−8)=0x(5 x-8)=0 ∴x=0,x=85\therefore \quad x=0, x=\frac{8}{5} (i) ও (ii) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫085(y1−y2)dx=∫085(8x−x2−2x)dx=\int_0^{\frac{8}{5}}\left(y_1-y_2\right) d x=\int_0^{\frac{8}{5}}\left(\sqrt{8 x-x^2}-2 x\right) d x =∫085(42−(x−4)2−2x)dx=\int_0^{\frac{8}{5}}\left(\sqrt{4^2-(x-4)^2}-2 x\right) d x =[(x−4)42−(x−4)22+422sin⁡−1x−44−2×x22]085=\left[\frac{(x-4) \sqrt{4^2-(x-4)^2}}{2}+\frac{4^2}{2} \sin^{-1} \frac{x-4}{4}-2 \times \frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{8}{5}} =(85−4)16−144252+8sin⁡−185−44−6425+8×π2=\frac{\left(\frac{8}{5}-4\right) \sqrt{16-\frac{144}{25}}}{2}+8 \sin^{-1} \frac{\frac{8}{5}-4}{4}-\frac{64}{25}+8 \times \frac{\pi}{2} =−125×1652+8sin⁡−1(−35)−6425+4π=4π−325−8sin⁡−135=\frac{\frac{-12}{5} \times \frac{16}{5}}{2}+8 \sin^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)-\frac{64}{25}+4 \pi=4 \pi-\frac{32}{5}-8 \sin^{-1} \frac{3}{5} নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 4π−325−8sin⁡−1354 \pi-\frac{32}{5}-8 \sin^{-1} \frac{3}{5} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণসরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন