Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

f(x) ফাংশনটির মান যে সকল ব্যবধিতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ফাংশনটি ক্রম বর্ধমান হবে যদি [গণিত] হয় বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (i) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি [গণিত] ও [গণিত] উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হয়। [চিত্র] [গণিত] (1) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি [গণিত] হয়। অর্থাৎ, [গণিত] হলে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান হবে। আবার, ফাংশনটি ক্রম হ্রাসমান হবে যদি, [গণিত] ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং [গণিত] ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

f(x) ফাংশনটির মান যে সকল ব্যবধিতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

{f(x)=x3−6x2+9x+5f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+5} g(x)=x+2g(x)=x+2 h(x)=(1−x)(x2+4)h(x)=(1-x)\left(x^{2}+4\right)

Jessore · 2023

উত্তর

∫xln⁡xdx=ln⁡x∫xdx−∫{ddx(ln⁡x)∫xdx}dx\int x \ln x d x=\ln x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\ln x) \int x d x\right\} d x =x22ln⁡x−∫1x⋅x22dx=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} d x =x22ln⁡x−12∫xdx=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{1}{2} \int x d x =x22ln⁡x−12⋅x22+c=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}+c =x22ln⁡x−x24+c.=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}+c .

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x3−6x2+9x+5f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+5 ∴f′(x)=3x2−12x+9\therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 x+9 ফাংশনটি ক্রম বর্ধমান হবে যদি f′(x)>0f^{\prime}(\mathrm{x})>0 হয় বা, 3x2−12x+9=03 x^{2}-12 x+9=0 বা, 3(x2−4x+3)>03\left(x^{2}-4 x+3\right)>0 বা, x2−4x+3>0x^{2}-4 x+3>0 বা, x2−3x−x+3>0x^{2}-3 x-x+3>0 বা, x(x−3)−1(x−3)>0x(x-3)-1(x-3)>0 বা, (x−3)(x−1)>0(x-3)(x-1)>0 (i) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি (x−3)(x-3) ও (x−1)(x-1) উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হয়। question image ∴\therefore (1) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি x<1x<1 অথবা x>3x>3 হয়। অর্থাৎ, x<1\mathrm{x}<1 অথবা x>3\mathrm{x}>3 হলে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান হবে। আবার, ফাংশনটি ক্রম হ্রাসমান হবে যদি, f′(x)<0f^{\prime}(x)<0 হয় বা, 3x2−12x+9<03 x^{2}-12 x+9<0 বা, (x−3)(x−1)<0(x-3)(x-1)<0 ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) ∴13\therefore \quad 13 ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং 1<x<31<x<3 ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x+2g(x)=x+2 এবং h(x)=(1−x)(x2+4)h(x)=(1-x)\left(x^{2}+4\right), \therefore \quad \int \frac{g(x)}{h(x)} d x=\int \frac{x+2}{(1-x}\left(x^{2}+4\right)} d x ধরি, \frac{x+2}{(1-x}\left(x^{2}+4\right)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B x+C}{x^{2}+4}
……(1)(1)\ldots\ldots (1) (1)
নং এর উডয়পক্ষকে (1−x)(x2+4)(1-x)\left(x^{2}+4\right) দ্বারা গুণ করে পাই, x+2=A(x2+4)+(Bx+C)(1−x)x+2=A\left(x^{2}+4\right)+(B x+C)(1-x)
……..(2)(2)\ldots\ldots.. (2) (2)
নং ₫x=1₫ \mathrm{x}=1, বসিয়ে পাই, 3=5 A\begin{aligned} & 3=5 \mathrm{~A}\end{aligned} বা, A=35\mathrm{A}=\frac{3}{5} (2) নং হতে x2x^{2} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A−B=0A-B=0 বা, 35−B=0\frac{3}{5}-\mathrm{B}=0 ∴B=35\therefore \quad B=\frac{3}{5} (2) নং হতে xx এর সহগ সমীকৃত করে পাই, B−C=1B-C=1 বা, 35−C=1\frac{3}{5}-\mathrm{C}=1 বা, C=35−1C=\frac{3}{5}-1 ∴C=−25\therefore \quad C=-\frac{2}{5} (1) নং এ A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} ও C\mathrm{C} এর মান বসিয়ে পাই, \therefore \quad \frac{x+2}{(1-x}\left(x^{2}+4\right)} =\frac{3}{5(1-x)}+\frac{\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}}{x^{2}+4} =35(1−x)+3x−25(x2+4)=\frac{3}{5(1-x)}+\frac{3 x-2}{5\left(x^{2}+4\right)} \therefore \quad \int \frac{g(x)}{h(x)} d x=\int \frac{x+2}{(1-x}\left(x^{2}+4\right)} d x =∫35(1−x)dx+∫3x−25(x2+4)dx=\int \frac{3}{5(1-x)} d x+\int \frac{3 x-2}{5\left(x^{2}+4\right)} d x =35∫11−xdx+15[∫3xx2+4dx−∫2x2+4dx]=\frac{3}{5} \int \frac{1}{1-x} d x+\frac{1}{5}\left[\int \frac{3 x}{x^{2}+4} d x-\int \frac{2}{x^{2}+4} d x\right] =−35∫−11−xdx+35×2∫2xx2+4dx−25∫1x2+22dx=\frac{-3}{5} \int \frac{-1}{1-x} d x+\frac{3}{5 \times 2} \int \frac{2 x}{x^{2}+4} d x-\frac{2}{5} \int \frac{1}{x^{2}+2^{2}} d x =−35ln⁡∣1−x∣+310ln⁡∣x2+4∣−25×12tan⁡−1x2+c=-\frac{3}{5} \ln |1-x|+\frac{3}{10} \ln \left|x^{2}+4\right|-\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2}+c =310ln⁡∣x2+4∣−35ln⁡∣1−x∣−15tan⁡−1x2+c.=\frac{3}{10} \ln \left|x^{2}+4\right|-\frac{3}{5} \ln |1-x|-\frac{1}{5} \tan^{-1} \frac{x}{2}+c .
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন