Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

x এর যে মানগুলোর জন্য [গণিত] ফাংশনের চরমমান বিদ্যমান তা নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছ, [গণিত] চরমমান থাকবে যেখানে [গণিত] এখন, [গণিত] এর জন্য [গণিত] এর চরমমান বিদ্যমান

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

x এর যে মানগুলোর জন্য ফাংশনের চরমমান বিদ্যমান তা নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: g(x)=cos⁡x,h(x)=x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}, \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^4 দৃশ্যকল্প-২: x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 একটি উপবৃত্ত; x2+y2=9\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=9 একটি বৃত্ত।question image

Rajshahi · 2022

উত্তর

দেওয়া আছ, f(x)=x+4xf(x)=x+\frac{4}{x} চরমমান থাকবে যেখানে f′(x)=0f^{\prime}(x)=0 এখন, f′(x)=1−4x2=0f^{\prime}(x)=1-\frac{4}{x^2}=0 =1−4x2∴f′(x)=0⇒1−4x2=0⇒1=4x2∴x=±2\begin{aligned}& =1-\frac{4}{x^2} \\& \therefore f^{\prime}(x)=0 \\& \Rightarrow 1-\frac{4}{x^2}=0 \\& \Rightarrow 1=\frac{4}{x^2} \\& \therefore x= \pm 2\end{aligned} ∴X=2,−2\therefore \mathrm{X}=2,-2 এর জন্য f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x}) এর চরমমান বিদ্যমান

উত্তর

দেওয়া আছ, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x এবং, h(x)=x4\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^4 এখন, ∫0π/2{g(x)}2dx\int_0^{\pi / 2}\{g(x)\}^2 d x =12∫0π/22{g(x)}2dx=12∫0π/22cos⁡2xdx\begin{aligned}& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} 2\{g(x)\}^2 d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2} 2 \cos^2 x d x\end{aligned} =12∫0π/2(1+cos⁡2x)dx=12[x+sin⁡2x2]0π/2=12[(π2+0]−(0+0)]=π4\begin{aligned}& =\frac{1}{2} \int_0^{\pi / 2}(1+\cos 2 x) d x \\& =\frac{1}{2}\left[x+\frac{\sin 2 x}{2}\right]_0^{\pi / 2} \\& =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right]-(0+0)\right] \\& =\frac{\pi}{4}\end{aligned} এখন, \begin{aligned}& \int_0^1 \frac{x}{1+h(x)} d x=\int_0^3 \frac{x}{1+x^4} d x \\& =\int_0^1 \frac{x}{1+\left(x^2\right}^2} d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2 x}{1+\left(x^2\right}^2} d x \\& =\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{d z}{1+z^2} \\& \text{ ধরি, } x^2=z \\& 2 x d x=d z \\& \mathrm{x}=1 \text{ হলে } \\& =\frac{1}{2}\left[\tan^{-1} z\right] \delta \\& z=1 \\& \mathrm{x}=0 \text{ হলে } \\& z=0 \\& =\frac{1}{2}=1\left(\tan^{-1} 1-\tan^{-1} 0\right) \\& =\frac{1}{2} \tan^{-1} 1=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8} \\& \therefore \int_0^{\pi / 2} \cos^2 x d x+\int_0^1 \frac{x}{1+h(x)} d x \\& =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8}=\frac{3 \pi}{8} \text{ (Ans) } \\&\end{aligned}

উত্তর

x216+y29=1⇒x242+y232=1…………(i)\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 \ldots \ldots \ldots \ldots(i) এবং, x2+y2=9⇒x2+y2=32…x^2+y^2=9 \Rightarrow x^2+y^2=3^2 \ldots (ii) (ii) নং থেকে, x2+y29=1x29+y29=1\begin{aligned}& \frac{x^2+y^2}{9}=1 \\& \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1\end{aligned} (i) - (ii) x24−x29=0x2536=0∴x=0x=0 (i) নং এ বসিয়ে, y2=9⇒y=±3\begin{aligned}& \frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{9}=0 \\& x^2 \frac{5}{36}=0 \\& \therefore x=0 \\& x=0 \text{ (i) নং এ বসিয়ে, } \\& y^2=9 \\& \Rightarrow y= \pm 3\end{aligned} ∴\therefore (0,3) ও (0,-3) তে দ্বারা ছেদ করবে। (i) নং এ x = 0 ও y = 0 বসিয়ে y=±3∙x=±4y= \pm 3 \bullet x= \pm 4 ∴\therefore উপবৃত্তটি (0,3),(0,3)(0,3),(0,3) ও (4,0),(−4,0)(4,0),(-4,0) বিন্দু দিয়ে যাবে question image (ii) নং থেকে y1=y=9−x2\mathrm{y}_1=\mathrm{y}=\sqrt{9-x^2} এবং (i) নং থেকে y2=1−x2169=3416−x2\begin{aligned}& y_2=\sqrt[9]{1-\frac{x^2}{16}} \\& =\frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}\end{aligned} ∴\therefore আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল, =∫04y2dx∫03y1dx=\int_0^4 y_2^{d x} \int_0^3 y_1 d x =34∫0416−x2dx−∫0332−x2dx=34[x16−x22+422sin⁡2x4]04−[x32−x22+322sin⁡−1x3]=34[(0+8⋅π2)−(0+0)]−[(0+92×π2)−(0−0)]=34×8π2−92×π2=3π−9π4=12π−9π4=3π4 একক (Ans) \begin{aligned}& =\frac{3}{4} \int_0^4 \sqrt{16-x^2} \mathrm{dx}-\int_0^3 \sqrt{3^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} \\& =\frac{3}{4}\left[\frac{\mathrm{x} \sqrt{16-\mathrm{x}^2}}{2}+\frac{4^2}{2} \sin^2 \frac{\mathrm{x}}{4}\right]_0^4-\left[\frac{\mathrm{x} \sqrt{3^2-\mathrm{x}^2}}{2}+\frac{3^2}{2} \sin^{-1} \frac{\mathrm{x}}{3}\right] \\& =\frac{3}{4}\left[\left(0+8 \cdot \frac{\pi}{2}\right)-(0+0)\right]-\left[\left(0+\frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2}\right)-(0-0)\right] \\& =\frac{3}{4} \times \frac{8 \pi}{2}-\frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} \\& =3 \pi-\frac{9 \pi}{4} \\& =\frac{12 \pi-9 \pi}{4} \\& =\frac{3 \pi}{4} \text{ একক (Ans) }\end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণRajshahi
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন