Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ :এর সাহায্যে [গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ইহাই নির্ণেয় মান।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ :এর সাহায্যে নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : g(x)=cot⁡−1xg(x)=\cot^{-1} x দৃশ্যকল্প-২ : y2=2x\mathrm{y}^2=2 \mathrm{x}.

Jessore · 2022

উত্তর

প্রশ্নমত, ∫dx5−3x2=∫dx3(53x2)=13∫dx(53)2−x2=13sin⁡−1x53+c=13sin⁡−13x5+c\begin{aligned}& \int \frac{d x}{\sqrt{5-3 x^2}}=\int \frac{d x}{\sqrt{3\left(\frac{5}{3} x^2\right)}} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{d x}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\right)^2-x^2}} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1} \frac{x}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}+\mathrm{c} \\& =\frac{1}{\sqrt{3}} \sin^{-1} \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}+\mathrm{c}\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cot⁡−1x∴∫13xg(x)dx=∫13xcot⁡−1xdx=[cot⁡−1x∫1xdx−{ddx(cot⁡x)∫1xdxdx]13=[x22cot⁡−1x+∫12x22+x2)dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫1211+x2dx]13=[x22cot⁡−1x+12∫121−11+x2dx]13\begin{aligned} & g(x)=\cot^{-1} x \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x g(x) d x=\int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\cot^{-1} x \int_1 x d x-\left\{\frac{d}{d x}(\cot x) \int_1 x d x d x\right]_1^{\sqrt{3}}\right. \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\int_1^2 \frac{x^2}{\left.2+x^2\right)} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \int_1^2 1-\frac{1}{1+x^2} d x\right]_1^{\sqrt{3}}\end{aligned} =[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x+c]13∴∫13xcot⁡−1xdx=[x22cot⁡−1x+x2+12cot⁡−1x]13=12[x2cot⁡−1x]13+12[x]13+12[cot⁡−1x]13=12[3cot⁡−13−cot⁡−1111]+12[3−1]+12(cot⁡−13−cot⁡−11)=12(3⋅π6−π4)+12(3−1)+12(π6−π4)=π4−π8+12(3−1)+π12−π8=12(3−1)+π12=12(3−1+π6)\begin{aligned} & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x+c\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & \therefore \int_1^{\sqrt{3}} x \cot^{-1} x d x \\ & =\left[\frac{x^2}{2} \cot^{-1} x+\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[x^2 \cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}[x]_1^{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\left[\cot^{-1} x\right]_1^{\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2}\left[3 \cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} \frac{1}{11}\right]+\frac{1}{2}[\sqrt{3}-1] \\ & +\frac{1}{2}\left(\cot^{-1} \sqrt{3}-\cot^{-1} 1\right) \\ & =\frac{1}{2}\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{8} \\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{\pi}{12} \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned} ইহাই নির্ণেয় মান।

উত্তর

দেওয়া আছ,
y2=2x……(i)x=3y……...(ii)(i)y^2 = 2x \ldots\ldots (i) x = 3y \ldots\ldots... (ii) (i)
নং সমীকরণে x = 3y বসিয়ে, 1−2,3y⇒y2=6y⇒y2−6y=0⇒y(y−6)=0∴y=0,6y=0 হলে, x=0y=6 হলে, x=18\begin{aligned}& 1-2,3 y \\& \Rightarrow y^2=6 y \\& \Rightarrow y^2-6 y=0 \\& \Rightarrow y(y-6)=0 \\& \therefore y=0,6 \\& y=0 \text{ হলে, } x=0 \\& y=6 \text{ হলে, } x=18\end{aligned}(i) নং ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (0,0) এবং (18,6) (i) নং হতে পাই, y2=2x⇒y=2x=y1\begin{aligned}y^2 & =2 x \Rightarrow y & =\sqrt{2} \sqrt{x}=y_1\end{aligned} (ii) নং হতে পাই, x=3y⇒y=x3=y2\begin{aligned}x & =3 y \Rightarrow y & =\frac{x}{3}=y_2\end{aligned} (i) ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, =∫018(y1−y2)dx=∫018(2x−x3)dx=2∫018[xdx−13]018xdx=2[x23]018−13[x22]018=223(18)32−0−16×(18)2+0=223(18)32−15=72−54\begin{aligned} & =\int_0^{18}\left(y_1-y_2\right) d x \\ & =\int_0^{18}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}-\frac{x}{3}\right) d x \\ & =\sqrt{2} \int_0^{18}\left[\sqrt{x} d x-\frac{1}{3}\right]_0^{18} x d x \\ & =\sqrt{2}\left[\frac{x^2}{3}\right]_0^{18}-\frac{1}{3}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{18} \\ & =\frac{2 \sqrt{2}}{3}(18)^{\frac{3}{2}}-0-\frac{1}{6} \times(18)^2+0 \\ & =\frac{2 \sqrt{2}}{3}(18)^{\frac{3}{2}}-15 \\ & =72-54\end{aligned} = 18 বর্গ একক। নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 18 বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন