Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষদ্রতর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুতে, ফাংশनটির লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, লঘুমাन [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুতে, ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। অতএব, গুরুমান [গণিত] সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষদ্রতর।

উদ্দীপক

f(x)=1sin⁡x,g(x)=1tan⁡x,h(x)=xf(x)=\frac{1}{\sin x}, g(x)=\frac{1}{\tan x}, h(x)=x

Rajshahi · 2017

উত্তর

lim⁡x→24−x23−x2+5=lim⁡x→2(4−x2)(3+x2+5)(3−x2+5)(3+x2+5)=lim⁡x→2(4−x2)(3+x2+5)32−(x2+5)2=lim⁡x→2(4−x2)(3+x2+5)9−x2−5=lim⁡x→2(3+x2+5)=3+3=6 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{x \rightarrow 2} \frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}} \\ & =\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left(4-x^2\right)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)}{\left(3-\sqrt{x^2+5}\right)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)} \\ & =\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left(4-x^2\right)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)}{3^2-\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2} \\ & =\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left(4-x^2\right)\left(3+\sqrt{x^2+5}\right)}{9-x^2-5} \\ & =\lim_{x \rightarrow 2}\left(3+\sqrt{x^2+5}\right) \\ & =3+3=6 \text{ (Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1sin⁡xf(x)=\frac{1}{\sin x} এবং g(x)=1tan⁡xg(x)=\frac{1}{\tan x} ∴f(x)g(x)=1sin⁡x1tan⁡x=tan⁡xsin⁡x=1sin⁡x×sin⁡xcos⁡x=sec⁡x\therefore \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\tan x}}=\frac{\tan x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{\cos x}=\sec x ধরি, p(x)=f(x)g(x)=sec⁡xp(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\sec x ∴p(x+h)=sec⁡(x+h)\therefore \mathrm{p}(\mathrm{x}+\mathrm{h})=\sec (\mathrm{x}+\mathrm{h}) আমরা জানি, ddx{p(x)}=lim⁡h→0p(x+h)−p(x)h\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{p}(\mathrm{x})\}=\lim_{\mathrm{h} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{p}(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{p}(\mathrm{x})}{\mathrm{h}} ∴ddx{f(x)g(x)}=ddx(sec⁡x)\therefore \frac{d}{d x}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{d}{d x}(\sec x) =lim⁡h→0sec⁡(x+h)−sec⁡xh=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sec (x+h)-\sec x}{h} =lim⁡h→01h{1cos⁡(x+h)−1cos⁡x}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{1}{\cos (x+h)}-\frac{1}{\cos x}\right\} =lim⁡h→01h{cos⁡x−cos⁡(x+h)cos⁡xcos⁡(x+h)}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{\cos x-\cos (x+h)}{\cos x \cos (x+h)}\right\} =lim⁡h→01h{2sin⁡(x+x+h2)sin⁡(x+h−x2)cos⁡xcos⁡(x+h)}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{2 \sin \left(\frac{x+x+h}{2}\right) \sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{\cos x \cos (x+h)}\right\} =lim⁡h→01h{2sin⁡(x+h2)sin⁡h2cos⁡xcos⁡(x+h)}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\frac{2 \sin \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{\cos x \cos (x+h)}\right\} =lim⁡h→0sin⁡h2h2×lim⁡h→0sin⁡(x+h2)cos⁡xcos⁡(x+h)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \times \frac{\lim }{h \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)}{\cos x \cos (x+h)} =1×sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x=1cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=1 \times \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x}=\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} =sec⁡xtan⁡x=\sec x \tan x ∴ddx(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡x(Ans.)\therefore \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x(A n s .)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=x∴h(x)+1 h(x)=x+1x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{x} \therefore \mathrm{h}(\mathrm{x})+\frac{1}{\mathrm{~h}(\mathrm{x})}=\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}} ধরি, y−x+1x∴dydx−1−1x2\mathrm{y}-\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}} \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-1-\frac{1}{\mathrm{x}^2} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 1−1x2=01-\frac{1}{x^2}=0 বা, x2=x^2= বা, x=±1x= \pm 1 আবার, d2ydx2=2x3\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{2}{\mathrm{x}^3} x=1\mathrm{x}=1 হলে, d2ydx2=21=2>0\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{2}{1}=2>0 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 বিন্দুতে, ফাংশनটির লঘুমান বিদ্যমান। অতএব, লঘুমাन =1+11=2=1+\frac{1}{1}=2 x=−1\mathrm{x}=-1 হলে, \frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{2}{(-1}^3}=-2<0 ∴x=−1\therefore \mathrm{x}=-1 বিন্দুতে, ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। অতএব, গুরুমান =(−1)+1−1=−2=(-1)+\frac{1}{-1}=-2 সুতরাং, ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন