Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমান কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে প্রমান কর যে,

উদ্দীপক

f(x,y)=x2+px+y2,g(x)=tan⁡−1xf(x, y)=x^{2}+p x+y^{2}, g(x)=\tan^{-1} x.

Barisal · 2021

উত্তর

মনে করি , y=\[\begin{array}{r}1 \x^{x}\end{array}\] ⇒ln⁡y=ln⁡−1\Rightarrow \ln \mathrm{y}=\ln \stackrel{1}{-} ∴ln⁡y=1xln⁡x\therefore \ln \mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{x}} \ln \mathrm{x} X-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, ddx(ln⁡y)=ddx(1xln⁡x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{y})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}} \ln \mathrm{x}\right) ⇒1ydydx=1xddx{ln⁡(x)}+ln⁡(x)⋅ddx(1x)\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\{\ln (x)\}+\ln (x) \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x}\right) ⇒1ydydx=1x⋅1x+ln⁡x(−1x2)\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{\mathrm{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}}+\ln \mathrm{x}\left(-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}\right) ⇒dydx=y(1x2−1x2ln⁡x)\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \ln \mathrm{x}\right) ∴dydx=x1x(1x2−1x2ln⁡x)\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=x^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{x}^{2}} \ln \mathrm{x}\right) dydxx1x=x1x⋅1x2(1−ln⁡x)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} x^{\frac{1}{x}}=x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}^{2}}(1-\ln \mathrm{x}) =x1x⋅1x2(1−ln⁡x)=x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}^{2}}(1-\ln \mathrm{x}) (Ans)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x,y)=x2+px+y2\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{y}^{2} এবং f(x,y)=0\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 ∴x2+px+y2=0……..(i)\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{y}^{2}=0 \ldots\ldots.. (i) X-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, 2x+p+2ydydx=02 x+p+2 y \frac{d y}{d x}=0 ⇒2ydydx=−2x−p\Rightarrow 2 y \frac{d y}{d x}=-2 x-p ⇒2ydydx=−(2x+p)\Rightarrow 2 y \frac{d y}{d x}=-(2 x+p) ⇒dydx=−(2x+p)2y\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(2 x+p)}{2 y} ∴dxdy=−2y(2x+p)\therefore \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=-\frac{2 \mathrm{y}}{(2 \mathrm{x}+\mathrm{p})} স্পর্শকের ক্ষেত্রে , dydx=tan⁡90∘\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\tan 90^{\circ} ⇒dxdy=1tan⁡90∘\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\frac{1}{\tan 90^{\circ}} ⇒dxdy=cot⁡90∘\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\cot 90^{\circ} ∴dxdy=0\therefore \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=0 অর্থাৎ, −2y2x+p=0-\frac{2 y}{2 x+p}=0 ∴y=0\therefore \mathrm{y}=0 y=0\mathrm{y}=0 (i) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই, x2+px+02=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+0^{2}=0 ⇒x2+px=0\Rightarrow \mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}=0 ⇒x(x+p)=0\Rightarrow \mathrm{x}(\mathrm{x}+\mathrm{p})=0 ∴x=0\therefore \mathrm{x}=0 অथবা, x=−p\mathrm{x}=-\mathrm{p} ∴x\therefore x অক্ষের উপর লম্ব স্পর্শকগুলো (0,0)(0,0) ও (−p,0)(-p, 0) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=tan⁡−1xg(x)=\tan^{-1} x এবং tan⁡−1y=ng(x)\tan^{-1} y=n g(x) ⇒tan⁡−1y=ntan⁡−1x\Rightarrow \tan^{-1} y=n \tan^{-1} x ⇒y=tan⁡(ntan⁡−1x)\Rightarrow y=\tan \left(n \tan^{-1} x\right) ⇒ddx(y)=ddx[tan⁡(ntan⁡−1x)]\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\tan \left(n \tan^{-1} x\right)\right] ⇒y1=sec⁡2(ntan⁡−1x)ddx(ntan⁡−1x)[∵ddx(tan⁡x)=sec⁡2x]⇒y1=sec⁡2(ntan⁡−1x)⋅n1+x2[∵ddx(tan⁡−1x)=11+x2]⇒y1(1+x2)=nsec⁡2(ntan⁡−1x)⇒y1(1+x2)=n[1+tan⁡2(ntan⁡−1x)]⇒y1(1+x2)=n(1+y2)⇒ddx{y1(1+x2)}=ddx[n(1+y2)]⇒y1ddx(1+x2)+(1+x2)ddx(y1)=nddx(1+y2)⇒y1(0+2x)+(1+x2)y2=n(0+2yy1)⇒y1⋅2x+(1+x2)y2=n⋅2yy1⇒(1+x2)y2−2nyy1+2xy1=0∴(1+x2)y2−2(ny−x)y1=0 [Proved] \begin{aligned}& \Rightarrow y_{1}=\sec^{2}\left(n \tan^{-1} x\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(n \tan^{-1} x\right) \\& {\left[\because \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\tan x)=\sec^{2} x\right]} \\& \Rightarrow y_{1}=\sec^{2}\left(n \tan^{-1} x\right) \cdot \frac{\mathrm{n}}{1+x^{2}} \\& {\left[\because \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\tan^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}\right]} \\& \Rightarrow y_{1}\left(1+x^{2}\right)=n \sec^{2}\left(n \tan^{-1} x\right) \\& \Rightarrow y_{1}\left(1+x^{2}\right)=n\left[1+\tan^{2}\left(n \tan^{-1} x\right)\right] \\& \Rightarrow y_{1}\left(1+x^{2}\right)=n\left(1+y^{2}\right) \\& \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{y_{1}\left(1+x^{2}\right)\right\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[n\left(1+y^{2}\right)\right] \\& \Rightarrow y_{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(1+x^{2}\right)+\left(1+x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(y_{1}\right)=n \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(1+y^{2}\right) \\& \Rightarrow y_{1}(0+2 x)+\left(1+x^{2}\right) y_{2}=n\left(0+2 y y_{1}\right) \\& \Rightarrow y_{1} \cdot 2 x+\left(1+x^{2}\right) y_{2}=n \cdot 2 y y_{1} \\& \Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y_{2}-2 n y y_{1}+2 x y_{1}=0 \\& \therefore\left(1+x^{2}\right) y_{2}-2(n y-x) y_{1}=0 \text{ [Proved] } \end{aligned}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন