Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] ফাংশনের সর্বোচ্চ মান [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। [গণিত] গুরুমাन [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, ফাংশনের সর্বোচ্চ মান ।

উদ্দীপক

f(u)=sin⁡−1uf(u)=\sin^{-1} u এবং g(u)=ln⁡ug(u)=\ln u দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2017

উত্তর

lim⁡θ→0cot⁡(π2−θ)−cos⁡(π2−θ)θ2=lim⁡θ→0tan⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θθ2=lim⁡θ→0sin⁡θ(1−cos⁡θ)θ2cos⁡θ=lim⁡θ→0sin⁡θ⋅2sin⁡2θ2θ2cos⁡θ=24lim⁡θ→0sin⁡θlim⁡θ→01cos⁡θlim⁡θ→0(sin⁡θ2θ2)2=12×0×11×1=0 (Ans.) \begin{aligned} & \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan \theta-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\sin \theta}{\theta^2} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2 \cos \theta} \\ & =\frac{2}{4} \lim_{\theta \rightarrow 0} \sin \theta \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\cos \theta} \lim_{\theta \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^2 \\ & =\frac{1}{2} \times 0 \times \frac{1}{1} \times 1=0 \text{ (Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(u)=sin⁡−1u\mathrm{f}(\mathrm{u})=\sin^{-1} \mathrm{u} এবং y={f(2x)}2\mathrm{y}=\{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})\}^2 বা, y=(sin⁡−12x)2y=\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, y1=2sin⁡−12xddx(sin⁡−12x)\mathrm{y}_1=2 \sin^{-1} 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sin^{-1} 2 \mathrm{x}\right) বা, y1=2sin⁡−12x⋅11−4x2⋅2y_1=2 \sin^{-1} 2 x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-4 x^2}} \cdot 2 বা, y12=4(sin⁡−12x)2⋅41−4x2y_1^2=4\left(\sin^{-1} 2 x\right)^2 \cdot \frac{4}{1-4 x^2} বা, y12(1−4x2)=16yy_1^2\left(1-4 x^2\right)=16 y পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, (1−4x2)2y1y2+y12(−8x)=16y1\left(1-4 x^2\right) 2 y_1 y_2+y_1{ }^2(-8 x)=16 y_1 বা, (1−4x2)y2−4x1=8\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x_1=8 [2 y1y_1 দ্বারা ভাগ করে] ∴(1−4x2)y2−4xy1−8=0\therefore\left(1-4 x^2\right) y_2-4 x y_1-8=0 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(u)=ln⁡u\mathrm{g}(\mathrm{u})=\ln \mathrm{u} ধরি, y=g(2x)x=ln⁡2xxy=\frac{g(2 x)}{x}=\frac{\ln 2 x}{x} ∴dydx=xddxln⁡2x−ln⁡2xddxxx2\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} =\frac{x \frac{d}{d x} \ln 2 \mathrm{x}-\ln 2 \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} =x⋅12x⋅2−ln⁡2x⋅1x2=1−ln⁡2xx2=\frac{\mathrm{x} \cdot \frac{1}{2 \mathrm{x}} \cdot 2-\ln 2 \mathrm{x} \cdot 1}{\mathrm{x}^2}=\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2} আবার, d2ydx2=x2ddx(1−ln⁡2x)−(1−ln⁡2x)ddxx2(x2)2\frac{d^2 y}{d x^2} =\frac{x^2 \frac{d}{d x}(1-\ln 2 x)-(1-\ln 2 x) \frac{d}{d x} x^2}{\left(x^2\right)^2} =x2(−12x⋅2)−(1−ln⁡2x)⋅2xx4=\frac{x^2\left(\frac{-1}{2 x} \cdot 2\right)-(1-\ln 2 x) \cdot 2 x}{x^4} =−x−2x(1−ln⁡2x)x4=\frac{-x-2 x(1-\ln 2 x)}{x^4} =−1−2+2ln⁡2xx3=\frac{-1-2+2 \ln 2 x}{x^3} =−3+2ln⁡2xx3=\frac{-3+2 \ln 2 x}{x^3} লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−ln⁡2xx2=0\frac{1-\ln 2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}=0 বা, 1=ln⁡2x1=\ln 2 x বা, ln⁡2x=ln⁡e\ln 2 \mathrm{x}=\ln \mathrm{e} বা, 2x=e2 x=e ∴x=e2\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} x=e2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{e}}{2} হলে, d2ydx2=−3+2ln⁡2⋅e2(e2)3=−1e38=−8e3<0\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^2}=\frac{-3+2 \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{e}}{2}\right)^3}=\frac{-1}{\frac{\mathrm{e}^3}{8}}=\frac{-8}{\mathrm{e}^3}<0 x=e2x=\frac{e}{2} এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমাन =ln⁡2⋅e2e2=1e2=2e=\frac{\ln 2 \cdot \frac{\mathrm{e}}{2}}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{e}}{2}}=\frac{2}{\mathrm{e}} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন