Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। অর্থাৎ △ ABC সমবাহু। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 2: ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 2: ভেক্টর · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, ∆ABC সমবাহু।

উদ্দীপক

△ ABC এর শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর হলো : i^+2j^+3k^,−i^−j^+8k^,−4i^+4j^+6k^\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k},-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}

উত্তর

ai^−2j^+k^a \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} এবং 2ai^−aj^−4k^2 a \hat{i}-a \hat{j}-4 \hat{k} ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ডট (.) গুণন সমান শূন্য (০) হয়। ∴(ai^−2j^+k^)(2ai^−aj^−4k^)=0\therefore \quad(a \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})(2 a \hat{i}-a \hat{j}-4 \hat{k})=0 বা, 2a2+2a−4=02 a^2+2 a-4=0 বা, a2+a−2=0a^2+a-2=0 বা, a2+2a−a−2=0a^2+2 a-a-2=0 বা, a(a+2)−1(a+2)=0a(a+2)-1(a+2)=0 বা, (a+2)(a−1)=0(a+2)(a-1)=0
\begin{tabular}{l|l}
হয়, a+2=0a+2=0 অথবা, a−1=0a-1=0 \\ ∴a=−2\therefore a=-2 ∴a=1\therefore a=1 নির্ণেয় মান: – 2 অথবা 1.

উত্তর

question image মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, A⃗=i+2j^+3k^,Bˉ=−i^−j^+8k^\vec{A}=i+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \bar{B}=-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k} এবং Cˉ=−4i^+4j^+6k^\bar{C}=-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k} ∴AB‾=(−i^−j^+8k^)−(i^+2j^+3k^)=−2i^−3j^−5k^\begin{aligned} \therefore \quad \overline{\mathrm{AB}} & =(-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ & =-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\end{aligned} ∣AB‾∣=(−2)2+(−3)2+(−5)2=4+9+25=38\begin{aligned}|\overline{\mathrm{AB}}| & =\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+(-5)^2} \\ & =\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}\end{aligned} BC‾=(−4i^+4j^+6k^)−(−i^−j^+8k^)=−3i^+5j^−2k^∴∣BC‾∣=9+25+4=38CA‾=(i+2j^+3k^)−(−4i^+4j^+6k^)=5i^−2j^−3k^∴∣CA‾∣=25+4+9=38∴∣AB‾∣=∣BC‾∣=∣CA‾∣=38\begin{aligned} \overline{B C} & =(-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})-(-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}) \\ & =-3 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \therefore \quad|\overline{B C}| & =\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38} \\ \overline{C A} & =(i+2 \hat{j}+3 \hat{k})-(-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k})=5 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k} \\ \therefore \quad|\overline{C A}| & =\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38} \\ \therefore \quad|\overline{A B}| & =|\overline{B C}|=|\overline{C A}|=\sqrt{38}\end{aligned} সুতরাং বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে। অর্থাৎ △ ABC সমবাহু। (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, Aˉ=i^+2j^+3k^\bar{A}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} ∴∣A‾∣=12+22+32=14\therefore|\overline{\mathrm{A}}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14} মনে করি, A‾\overline{\mathrm{A}} ভেক্টরটি x,yx, y ও zz অক্ষের সাথে যথাক্রমে α,β\alpha, \beta এবং γ\gamma কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে, cos⁡α=Aˉ⋅i^∣Aˉ∣⋅∣i^∣=(i^+2j^+3k^)⋅i^14⋅1=114\cos \alpha=\frac{\bar{A} \cdot \hat{i}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{i}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{i}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{14}}  বা, α=cos⁡−1(114)cos⁡β=Aˉ⋅j^∣Aˉ∣⋅∣j^∣=(i^+2j^+3k^)⋅j^14⋅1=214∴β=cos⁡−1(214)cos⁡γ=Aˉ⋅k^∣Aˉ∣⋅∣k^∣=(i^+2j^+3k^)⋅k^14⋅1=314∴γ=cos⁡−1(314)\begin{aligned} & \text{ বা, } \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) \\ & \quad \cos \beta=\frac{\bar{A} \cdot \hat{j}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{j}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{14}} \\ & \therefore \quad \beta=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) \\ & \quad \cos \gamma=\frac{\bar{A} \cdot \hat{k}}{|\bar{A}| \cdot|\hat{k}|}=\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot \hat{k}}{\sqrt{14} \cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{14}} \\ & \therefore \quad \gamma=\cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)\end{aligned} নির্ণেয় মান: cos⁡−1(114),cos⁡−1(214),cos⁡−1(314)\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right), \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right), \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 2: ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A→=i^−j^+k^\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}এবং B→=3i^−2j^+3k^\overrightarrow{\mathbf{B}}=3 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} দুটি ভেক্টর হলে- \i.A⃗\i. \vec{A}ভেক্টরের মান (\sqrt{3}\) \ii.A⃗\ii. \vec{A} ভেক্টরের উপর ভেক্টরের (\bar{B} \) ভেক্টরের অভিক্ষেপ (\frac{8}{\sqrt{3}}\) iii. ভেক্টর দুটির অন্তর্গত কোণ cos⁡−1866\cos^{-1} \frac{8}{\sqrt{66}} নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের কোন ভেক্টরটি সকল ভেক্টরের উপর লম্ব?

  • ক
    শূন্য ভেক্টর
  • খ
    একক ভেক্টর
  • গ
    অবস্থান ভেক্টর
  • ঘ
    বিন্দু ভেক্টর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A⃗=3i^+j^−2k^,B→=2i^−j^+k^\vec{A}=3 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}এবং ( \overrightarrow{\mathbf{C}}=2 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}} \) হলে,∣2A→−B→+C→∣|2 \overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}}| এর মান নির্ণয় কর?

  • ক
    10
  • খ
    11
  • গ
    12
  • ঘ
    13

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.P→=5i^−j^+3k^;Q→=k^\overrightarrow{\mathbf{P}}=5 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} ; \overrightarrow{\mathbf{Q}}=\hat{\mathbf{k}} হলে,P→×Q→=\overrightarrow{\mathbf{P}} \times \overrightarrow{\mathbf{Q}}= কত?

  • ক
    −i^−5j^-\hat{i}-5 \hat{\mathrm{j}}
  • খ
    i^−5j^\hat{i}-5 \hat{j}
  • গ
    i^+5j^\hat{i}+5 \hat{j}
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.a⃗=4i^−3j^+2k^ও\vec{a}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}ওb⃗\vec{b}=2i^−3j^+4k^=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k} ভেক্টর দুইটি যে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু তার ক্ষেত্রফল হবে-

  • ক
    333 \sqrt{3}
  • খ
    636 \sqrt{3}
  • গ
    666 \sqrt{6}
  • ঘ
    363 \sqrt{6}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.A→=2i^+4j^−k^\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}ভেক্টরের দিক বরাবর B→=i^+j^+3k^\overrightarrow{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} এর অংশক কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    321a^\frac{3}{21} \hat{a}
  • খ
    −321a^-\frac{3}{21} \hat{\mathrm{a}}
  • গ
    −321a-\frac{3}{\sqrt{21}} \mathrm{a}
  • ঘ
    321a^\frac{3}{\sqrt{21}} \hat{\mathrm{a}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.A→=i^−2j^+3k^\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}এবং (\overrightarrow{\mathbf{B}}=2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}} \) হলে ( A→⋅B→=\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}= ?\)

  • ক
    33
  • খ
    22
  • গ
    −2-2
  • ঘ
    −3-3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.A→=i^+j^\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}এবং (\overrightarrow{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}\) হলে (|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}| \)

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    11
  • খ
    −1\sqrt{-1}
  • গ
    3\sqrt{3}
  • ঘ
    −3\sqrt{-3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ABCD সামান্তরিকে A এর সাপেক্ষে B ও D এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a ও b হলে, A বিন্দুর সাপেক্ষে M এর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?

  • ক
    (a+b)(\mathrm{a}+\mathrm{b})
  • খ
    14(a+b)\frac{1}{4}(a+b)
  • গ
    12(a+b)\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})
  • ঘ
    16(a+b)\frac{1}{6}(a+b)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.i^×k^=\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=কোনটি?

  • ক
    j^\hat{j}
  • খ
    i^\hat{i}
  • গ
    −k^-\hat{k}
  • ঘ
    −j^-\hat{j}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.12i^+13j^+k^\frac{1}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{1}{3} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}এর মান কোনটি?

যশোর বোর্ড

  • ক
    76\frac{7}{6}
  • খ
    4936\frac{49}{36}
  • গ
    116\frac{11}{6}
  • ঘ
    116\sqrt{\frac{11}{6}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(j^×i^)⋅k^=(\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}) \cdot \hat{\mathbf{k}}= কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    kk

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এবং [গণিত] দুটি ভেক্টর হলে- [গণিত] ভেক্টরের মান ( [গণিত] ) [গণিত] ভেক্টরেনিচের কোন ভেক্টরটি সকল ভেক্টরের উপর লম্ব?[গণিত] এবং ( [গণিত] =2 [গণিত] +3 [গণিত] -2 [গণিত] ) হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় ক[গণিত] হলে, [গণিত] কত?[গণিত] ভেক্টর দুইটি যে সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু তার ক্ষেত্রফল হবে-[গণিত] ভেক্টরের দিক বরাবর [গণিত] এর অংশক কত?[গণিত] এবং ( [গণিত] =2 [গণিত] + [গণিত] - [গণিত] ) হলে ( [গণিত] = ? )[গণিত] এবং ( [গণিত] = [গণিত] + [গণিত] ) হলে (| [গণিত] | )ABCD সামান্তরিকে A এর সাপেক্ষে B ও D এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a ও b হলে, A বিন[গণিত] কোনটি?[গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন