Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সরলরেখার সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে এবং P বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] যাহা মূলবিন্দুগামী এবং রেখাটির ঢাল = 1. [গণিত] বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, [গণিত] যেখানে ঢাল = m যেহেতু (i) নং রেখার সাথে (ii) নং রেখা 30° কোণ উৎপন্ন করে সেহেতু, [গণিত] . বা, [গণিত] চিহ্ন নিয়ে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (-) চিহ্ন নিয়ে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) নং সমীকরণে [গণিত] এর মান বসিয়ে পাই, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

সরলরেখার সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে এবং P বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখার…

উদ্দীপক

question image

রংপুর ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ, 4x−3y−8=0……...(i)4x - 3y - 8 = 0 \ldots\ldots... (i) (i) নং রেখার সমান্তরালরেখার সমীকরণ, 4x−3y+k=0…..(ii)4x - 3y + k = 0 \ldots.. (ii) (i) নং ও (ii) নং রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব = 2 একক। ∴∣k+8∣42+(−3)2=2\therefore \quad \frac{|\mathbf{k}+8|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2 বা, k+816+9=±2\frac{k+8}{\sqrt{16+9}}= \pm 2 বা, k+85=±2\frac{k+8}{5}= \pm 2 বা, k+8=±10k+8= \pm 10 (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, k+8=10k+8=10 বা, k=10−8=2k=10-8=2 ∴k=2\therefore \quad k=2 ∴k=2,−18\therefore \mathrm{k}=2,-18 (-) চিহ্ নিয়ে পাই, k+8=−10k+8=-10 বা, k=−8−10=−18k=-8-10=-18 ∴k=−18\therefore \quad k=-18 k এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, k=2k=2 হলে, 4x−3y+2=04 x-3 y+2=0 k=−18k=-18 হলে, 4x−3y−18=04 x-3 y-18=0 নিণেয় সমীকরণ, 4x−3y+2=04 x-3 y+2=0 এবং 4x−3y−18=04 x-3 y-18=0.

উত্তর

এখানে, A(3,−3),B(−2,7)\mathrm{A}(3,-3), \mathrm{B}(-2,7) এবং P(1,−1)\mathrm{P}(1,-1) তিনটি বিন্দু। ABA B রেখার সমীকরণ, x−x1x1−x2=y−y1y1−y2\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}} বা, x−33+2=y+3−3−7\frac{x-3}{3+2}=\frac{y+3}{-3-7} বা, x−35=y+3−10\frac{x-3}{5}=\frac{y+3}{-10} বা, x−3=y+3−2x-3=\frac{y+3}{-2} বা,2x−6=−y−32 x-6=-y-3 বা, 2x−6+y+3=02 x-6+y+3=0 ∴2x+y−3=0…...(i)\therefore \quad 2 x+y-3=0 \ldots... (i) (i) নং রেখার লম্বরেখার সমীকরণ, x−2y+k=0\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{k}=0 (ii) নং রেখাটি P(1,−1)P(1,-1) বিন্দুগামী, ∴1−2(−1)+k=0\therefore \quad 1-2(-1)+k=0 বা, 1+2+k=01+2+k=0 বা, 3+k=03+k=0 ∴k=−3\therefore \quad \mathrm{k}=-3 kk এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x−2y−3=0x-2 y-3=0 …..(iii)\ldots.. (iii) এখন (i) নং এবং (iii) নং এর ছেদবিন্দুই হবে নির্ণেয় লম্বের পাদবিন্দু। (i) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে (iii) এর সাথে যোগ করি, 4x+2y−6=04 x+2 y-6=0 x−2y−3=0x-2 y-3=0 5x−9=05 x-9=0 বা, 5x=9∴x=955 x=9 \quad \therefore x=\frac{9}{5} বা, 5x=9∴x=955 x=9 \quad \therefore x=\frac{9}{5} x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, 95−2y−3=0\frac{9}{5}-2 y-3=0 বা, 2y=95−3=9−155=−65∴y=−352 y=\frac{9}{5}-3=\frac{9-15}{5}=-\frac{6}{5} \quad \therefore y=-\frac{3}{5} নির্ণেয় পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y)=(95,−35)(x, y)=\left(\frac{9}{5},-\frac{3}{5}\right).

উত্তর

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ, y=x−1…...(i)y = x^ - 1 \ldots... (i) যাহা মূলবিন্দুগামী এবং রেখাটির ঢাল = 1. P(1,−1)P(1, -1) বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, y+1=m(x−1)………(ii)y + 1 = m(x - 1) \ldots\ldots\ldots(ii) যেখানে ঢাল = m যেহেতু (i) নং রেখার সাথে (ii) নং রেখা 30° কোণ উৎপন্ন করে সেহেতু, tan⁡30∘=±m−11+m.1\tan 30^{\circ}= \pm \frac{m-1}{1+m .1}. বা, 13=±m−11+m\frac{1}{\sqrt{3}}= \pm \frac{m-1}{1+m} (+)(+) চিহ্ন নিয়ে, 13=m−11+m\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{m-1}{1+m} বা, m+1=3m−3m+1=\sqrt{3} m-\sqrt{3} বা, (3−1)m=3+1(\sqrt{3}-1) m=\sqrt{3}+1 (-) চিহ্ন নিয়ে, 13=−m−1m+1\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{m-1}{m+1} বা, m+1=−3 m+3\mathrm{m}+1=-\sqrt{3} \mathrm{~m}+\sqrt{3} বা, (3+1)m=3−1(\sqrt{3}+1) m=\sqrt{3}-1 ∴m=3+13−1=(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=(3+1)2(3)2−1=3+1+232=2+3\begin{aligned} \therefore \quad m & =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \\ & =\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \\ & =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-1} \\ & =\frac{3+1+2 \sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\end{aligned} ∴m=3−13+1=(3−1)(3−1)(3+1)(3−1)=(3−1)2(3)2−1=3+1−232=2−3\begin{aligned} \therefore \quad m & =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\ & =\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\ & =\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2-1} \\ & =\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\end{aligned} (ii) নং সমীকরণে mm এর মান বসিয়ে পাই, m=2+3\mathrm{m}=2+\sqrt{3} হলে, y+1=(2+3)(x−1)\mathrm{y}+1=(2+\sqrt{3})(x-1) বা, y+1=(2+3)x−2−3y+1=(2+\sqrt{3}) x-2-\sqrt{3} ∴(2+3)x−y−(3+3)=0\therefore(2+\sqrt{3}) x-y-(3+\sqrt{3})=0 m=2−3m=2-\sqrt{3} হলে, y+1=(2−3)(x−1)y+1=(2-\sqrt{3})(x-1) বা, y+1=(2−3)x−2+3y+1=(2-\sqrt{3}) x-2+\sqrt{3} বা, (2−3)x−y−1−2+3=0(2-\sqrt{3}) x-y-1-2+\sqrt{3}=0 ∴(2−3)x−y−(3−3)=0\therefore \quad(2-\sqrt{3}) x-y-(3-\sqrt{3})=0 নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, (2+3)x−y−(3+3)=0,(2−3)x−y−(3−3)=0(2+\sqrt{3}) x-y-(3+\sqrt{3})=0,(2-\sqrt{3}) x-y-(3-\sqrt{3})=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.y=−2xy=-2 x এবং 2y=x2 y=x রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নিচের কোনটি ?

Barisal · 2017

  • ক
    90∘90^{\circ}
  • খ
    tan⁡−1(54)\tan^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)
  • গ
    tan⁡−1(−54)\tan^{-1}\left(\frac{-5}{4}\right)
  • ঘ
    0∘0^{\circ}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.AB এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (−32,−2)\left(-\frac{3}{2},-2\right)
  • খ
    (−3,−2)(-3,-2)
  • গ
    (32,−2)\left(\frac{3}{2},-2\right)
  • ঘ
    (−23,−2)\left(-\frac{2}{3},-2\right)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.△OAC\triangle O A C-এর ক্ষেত্রফল কোনটি?

Chittagong · 2017

  • ক
    333 \sqrt{3} বর্গ একক
  • খ
    92\frac{9}{2} বর্গ একক
  • গ
    99 বর্গ একক
  • ঘ
    932\frac{9 \sqrt{3}}{2} বর্গ একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের চিত্রের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও, AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Chittagong · 2017

  • ক
    \x+2y\x+\sqrt{2} y=6=6
  • খ
    \x+3y\x+\sqrt{3} y=6=6
  • গ
    \x−3y\x-\sqrt{3} y=6=6
  • ঘ
    \x−6y\x-\sqrt{6} y=3=3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . 3x−4y−12=03x - 4y - 12 = 0 রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব এবং (1, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?

Dhaka · 2017

  • ক
    4x−3y−10=04x - 3y - 10 = 0
  • খ
    4x+3y−10=04x + 3y - 10 = 0
  • গ
    3x−4y−10=03x - 4y - 10 = 0
  • ঘ
    3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . 3x−4y−12=03x - 4y - 12 = 0 রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । B বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    (4,0)(4,0)
  • খ
    (0,4)(0,4)
  • গ
    (0,−3)(0,-3)
  • ঘ
    (0,3)(0,3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    (52,−32)\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)
  • খ
    (−32,52)\left(\frac{-3}{2}, \frac{5}{2}\right)
  • গ
    (−1,53)\left(-1, \frac{5}{3}\right)
  • ঘ
    (53,−1)\left(\frac{5}{3},-1\right)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    5x−3y+15=05 x-3 y+15=0
  • খ
    4x+5y+15=04 x+5 y+15=0
  • গ
    3x−5y+15=03 x-5 y+15=0
  • ঘ
    3x+5y+15=03 x+5 y+15=0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও 4x−2y=64x - 2y = 6 উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল কত ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    22
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    −2-2
  • ঘ
    12\frac{1}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও 4x−2y=64x - 2y = 6 উদ্দীপক সরলরেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (32,0)\left(\frac{3}{2}, 0\right)
  • খ
    (0,−3)(0,-3)
  • গ
    (−3,0)(-3,0)
  • ঘ
    (0,32)\left(0, \frac{3}{2}\right)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা । △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Comilla · 2017

  • ক
    66
  • খ
    1212
  • গ
    1717
  • ঘ
    3434

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা। CD এর দৈর্ঘ্য কত একক?

Comilla · 2017

  • ক
    1010
  • খ
    55
  • গ
    44
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এবং [গণিত] রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নিচের কোনটি ?AB এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?[গণিত] -এর ক্ষেত্রফল কোনটি?নিচের চিত্রের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও, AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . [গণিত] রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . [গণিত] রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও [গণিত] উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল কত ?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও [গণিত] উদ্দীপক সরলরেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা । [গণিত] এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা। CD এর

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন