Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব।

উত্তর: [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] .. (i) [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] .. (ii) (i) নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়। অর্থাৎ ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] .. (iii) বা, [গণিত] বা, [গণিত] রেখাটির ঢাল, [গণিত] (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . [গণিত] (iv) বা, [গণিত] বা, [গণিত] রেখাটির ঢাল, [গণিত] ঢালদ্বয়ের গুণফল, [গণিত] যেহেতু (iii) নং ও (iv) নং রেখার ঢালদ্বয়ের গুণফল 1, সেহেতু (iii) ও (iv)নং রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

দেখাও যে, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব।

উদ্দীপক

question image চিত্রে, AQ ও AP রেখার সমীকরণ যথাক্রমে 4x+3y−12=04 x+3 y-12=0 এবং 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0.

রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

question image অর্থাৎ C(p,q)\mathrm{C}(\mathrm{p}, \mathrm{q}) বিন্দু AB কে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴p=2×(−10)+1×82+1\therefore p =\frac{2 \times(-10)+1 \times 8}{2+1} =−20+83=−123=−4=\frac{-20+8}{3}=\frac{-12}{3}=-4 এবং q=2×11+1×92+1\mathrm{q}=\frac{2 \times 11+1 \times 9}{2+1} =22+93=313=\frac{22+9}{3}=\frac{31}{3} ∴(q,p)=(313,−4)\therefore \quad(q, p)=\left(\frac{31}{3},-4\right) নির্ণেয় মান : (q,p)=(313,−4)(q, p)=\left(\frac{31}{3},-4\right)

উত্তর

AQAQ রেখার সমীকরণ, 4x+3y−12=04 x+3 y-12=0 …..(i)\ldots.. (i) APAP রেখার সমীকরণ, 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0
…..(ii)(i)\ldots.. (ii) (i)
নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়। অর্থাৎ ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ, 4x+3y−1242+32=±12x+5y−13122+52\frac{4 x+3 y-12}{\sqrt{4^2+3^2}}= \pm \frac{12 x+5 y-13}{\sqrt{12^2+5^2}} বা, 4x+3y−1225=12x+5y−13169\frac{4 x+3 y-12}{\sqrt{25}}=\frac{12 x+5 y-13}{\sqrt{169}} বা, 4x+3y−125=±12x+5y−1313\frac{4 x+3 y-12}{5}= \pm \frac{12 x+5 y-13}{13} বা, 13(4x+3y−12)=±5(12x+5y−13)13(4 x+3 y-12)= \pm 5(12 x+5 y-13) বা, 52x+39y−156=±(60x+25y−65)52 x+39 y-156= \pm(60 x+25 y-65) (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, 52x+39y−156=60x+25y−6552 x+39 y-156=60 x+25 y-65 বা, −8x+14y−91=0-8 x+14 y-91=0 ∴8x−14y+91=0\therefore \quad 8 x-14 y+91=0 …..(iii)\ldots.. (iii) বা, 14y=8x+9114 y=8 x+91 বা, y=814x+9114y=\frac{8}{14} x+\frac{91}{14} ∴y=47x+132\therefore y=\frac{4}{7} x+\frac{13}{2} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m1=47\mathrm{m}_1=\frac{4}{7} (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, 52x+39y−156=−(60x+25y−65)52 x+39 y-156=-(60 x+25 y-65) বা, 52x+39y−156+60x+25y−65=052 \mathrm{x}+39 \mathrm{y}-156+60 \mathrm{x}+25 \mathrm{y}-65=0 ∴112x+64y−221=0\therefore \quad 112 x+64 y-221=0. ……(iv)\ldots\ldots (iv) বা, 64y=−112x+22164 y=-112 x+221 বা, y=−11264x+22164∴y=−74x+22164y=\frac{-112}{64} x+\frac{221}{64} \quad \therefore \quad y=\frac{-7}{4} x+\frac{221}{64} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m2=−74\mathrm{m}_2=-\frac{7}{4} ∴\therefore ঢালদ্বয়ের গুণফল, m1×m2=47×−74=−1\mathrm{m}_1 \times \mathrm{m}_2=\frac{4}{7} \times \frac{-7}{4}=-1 যেহেতু (iii) নং ও (iv) নং রেখার ঢালদ্বয়ের গুণফল 1, সেহেতু (iii) ও (iv)নং রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

উত্তর

AP রেখার সমীকরণ, 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0 …….(i)\ldots\ldots.(i) এখন, AP রেখার উপর লম্ব রেথার সমীকরণ, 5x−12y+k=05 x-12 y+k=0
…...(ii)(ii)\ldots... (ii) (ii)
নং (3,7)(3,7) বিন্দুগামী, ∴5×3−12×7+k=0\therefore \quad 5 \times 3-12 \times 7+k=0 ∴15−84+k=0\therefore \quad 15-84+k=0 বা, −69+k=0∴k=69-69+k=0 \quad \therefore k=69 ∴AP−\therefore \mathrm{AP}-এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ : 5x−12y+69=05 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+69=0
…..(iii)(i)\ldots.. (iii) (i)
ও (iii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, \frac{x}{5 \times 69-(-12} \times(-13)}=\frac{y}{5 \times(-13}-12 \times 69}=\frac{1}{12 \times(-12}-5 \times 5} বা, x345−156=y−65−828=1−144−25\frac{x}{345-156}=\frac{y}{-65-828}=\frac{1}{-144-25} বা, x189=y−893=1−169\frac{x}{189}=\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169} ∴x189=1−169\therefore \quad \frac{x}{189}=\frac{1}{-169} বা, x=−189169\mathrm{x}=-\frac{189}{169} এবং y−893=1−169\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169} বা, y=893169y=\frac{893}{169} ∴\therefore (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (−189169,893169)\left(-\frac{189}{169}, \frac{893}{169}\right) ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দু (α,β)(\alpha, \beta) প্রদত্ত বিন্দু (x1,y1)=(3,7)\left(x_1, y_1\right)=(3,7) এবং প্রাপ্ত ছেদবিন্দু (x2,y2)=(−189169,893169)\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2\right)=\left(-\frac{189}{169}, \frac{893}{169}\right). এখন, (α,β)(\alpha, \beta) বিন্দুটি (x1,y1)\left(x_1, y_1\right)-এর প্রতিবিম্ব বিন্দু হলে, (α,β)⋆(x1,y1)(\alpha, \beta) \star\left(x_1, y_1\right) এর মধ্যবিন্দু হবে (x2;y2)\left(x_2 ; y_2\right)। ∴x2=x1+α2\therefore \quad x_2=\frac{x_1+\alpha}{2} বা, −189169=3+α2\frac{-189}{169}=\frac{3+\alpha}{2} বা, 507+169α=−378507+169 \alpha=-378 বা, 169α=−378−507169 \alpha=-378-507 ∴α=−885169\therefore \quad \alpha=\frac{-885}{169} এবং y2=y1+β2y_2=\frac{y_1+\beta}{2} 893169=7+β2\frac{893}{169}=\frac{7+\beta}{2} বা, 1183+169β=17861183+169 \beta=1786 বা, 169=1786−1183169=1786-1183 বা, 169β=603169 \beta=603 বा, β=603169\beta=\frac{603}{169} ∴\therefore প্রতিবিম্ব বিন্দু =(−885169,603169)=\left(\frac{-885}{169}, \frac{603}{169}\right).
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখারাজশাহী ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.y=−2xy=-2 x এবং 2y=x2 y=x রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নিচের কোনটি ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.AB এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.△OAC\triangle O A C-এর ক্ষেত্রফল কোনটি?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের চিত্রের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও, AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . 3x−4y−12=03x - 4y - 12 = 0 রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । প্রদত্ত রেখার উপর লম্ব এবং (1, 2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . 3x−4y−12=03x - 4y - 12 = 0 রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে । B বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও 4x−2y=64x - 2y = 6 উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল কত ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও 4x−2y=64x - 2y = 6 উদ্দীপক সরলরেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা । △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা। CD এর দৈর্ঘ্য কত একক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এবং [গণিত] রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নিচের কোনটি ?AB এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?[গণিত] -এর ক্ষেত্রফল কোনটি?নিচের চিত্রের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও, AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . [গণিত] রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও . [গণিত] রেখাটি x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. OAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: AB সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও [গণিত] উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল কত ?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও [গণিত] উদ্দীপক সরলরেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা । [গণিত] এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও. চিত্রে CD, AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা। CD এর

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দেখাও যে, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। | Prosthuti