Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে [গণিত] চিত্র অনুযায়ী [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র [গণিত] E ও F বিন্দু যথাক্রমে বৃত্তের পরিধির উপর x ও y অক্ষে অবস্থিত। [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তটি [গণিত] এবং [গণিত] দিয়ে যায়। অর্থাৎ [গণিত] বা, [গণিত] (i) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) এবং [গণিত] বা, [গণিত] (iii) (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (i) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

উত্তর

P+Q=i^−2j^−3k^+3i^−j^+2k^=4i^−3j^−k^\mathbf{P}+\mathbf{Q}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}+3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}=4 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} P−Q=i^−2j^−3k^−3i^+j^−2k^=−2i^−j^−5k^\mathbf{P}-\mathbf{Q}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}-3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}=-2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}} ∴(P+Q)⋅(P−Q)=4(−2)+(−3)(−1)+(−1)(−5)\therefore(\mathbf{P}+\mathbf{Q}) \cdot(\mathbf{P}-\mathbf{Q})=4(-2)+(-3)(-1)+(-1)(-5) =−8+3+5=0=-8+3+5=0 ∴(P+Q)\therefore(\mathbf{P}+\mathbf{Q}) ও (P−Q)(\mathbf{P}-\mathbf{Q}) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে ∴h=k=r\therefore \mathrm{h}=\mathrm{k}=\mathrm{r} চিত্র অনুযায়ী h=4\mathrm{h}=4 ∴h=k=r=4\therefore \mathrm{h}=\mathrm{k}=\mathrm{r}=4 ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র C(4,k)≡(4,4)\mathrm{C}(4, \mathrm{k}) \equiv(4,4) E ও F বিন্দু যথাক্রমে বৃত্তের পরিধির উপর x ও y অক্ষে অবস্থিত। ∴E(4,0)\therefore \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)\mathrm{F}(0,4) C(4,4),E(4,0)\mathrm{C}(4,4), \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)F(0,4) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 বৃত্তটি C(4,4),E(4,0)\mathrm{C}(4,4), \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)\mathrm{F}(0,4) দিয়ে যায়। অর্থাৎ 42+42+2×g×4+2×f×4+c=04^2+4^2+2 \times \mathrm{g} \times 4+2 \times \mathrm{f} \times 4+\mathrm{c}=0 বা, 8 g+8f+32+c=0……8 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}=0 \ldots \ldots (i) আবার, 42+02+2×g×4+2×f×0+c=04^2+0^2+2 \times \mathrm{g} \times 4+2 \times \mathrm{f} \times 0+\mathrm{c}=0 বা, 8 g+16+c=0……8 \mathrm{~g}+16+\mathrm{c}=0 \ldots \ldots (ii) এবং 02+42+2×g×0+2×f×4+c=00^2+4^2+2 \times \mathrm{g} \times 0+2 \times \mathrm{f} \times 4+\mathrm{c}=0 বা, 8f+16+c=0……8 f+16+c=0 \ldots \ldots (iii) (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, 8 g+8f+32+c−8 g−16−c=08 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}-8 \mathrm{~g}-16-\mathrm{c}=0 বা, 8f+16=0∴f=−28 \mathrm{f}+16=0 \therefore \mathrm{f}=-2 (i) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই, 8 g+8f+32+c−8f−16−c=08 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}-8 \mathrm{f}-16-\mathrm{c}=0 বা, 8 g+16=0∴g=−28 \mathrm{~g}+16=0 \therefore \mathrm{g}=-2 g\mathrm{g} এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, 8(−2)+16+c=0∴c=08(-2)+16+\mathrm{c}=0 \therefore \mathrm{c}=0 ∴\therefore নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2×(−2)x+2×(−2)y+0=0x^2+y^2+2 \times(-2) x+2 \times(-2) y+0=0 ∴x2+y2−4x−4y=0 (Ans.) \therefore x^2+y^2-4 x-4 y=0 \text{ (Ans.) }

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, (x−4)2+(y−4)2=42(x-4)^2+(y-4)^2=4^2 বা, x2−8x+16+y2−8y+16−16=0x^2-8 x+16+y^2-8 y+16-16=0 ∴x2+y2−8x−8y+16=0\therefore \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-8 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+16=0 এখানে, g=−4,f=−4g=-4, f=-4 ও c=16\mathrm{c}=16 (85,45)\left(\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right) বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ, x×85+y×45+(−4)(x+85)+(−4)(y+45)+16=0\mathrm{x} \times \frac{8}{5}+\mathrm{y} \times \frac{4}{5}+(-4)\left(\mathrm{x}+\frac{8}{5}\right)+(-4)\left(\mathrm{y}+\frac{4}{5}\right)+16=0 বা, 8x5+4y5−4x−325−4y−165+16=0\frac{8 x}{5}+\frac{4 y}{5}-4 x-\frac{32}{5}-4 y-\frac{16}{5}+16=0 বা, 8x+4y−20x−32−20y−16+80=08 x+4 y-20 x-32-20 y-16+80=0 বা, −12x−16y+32=0-12 x-16 y+32=0 ∴3x+4y−8=0……\therefore 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-8=0 \ldots \ldots (i) (i) নং রেখাটির সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, $ 3 x+4 y+k1=0……k_1=0 \ldots \ldots$ (ii) প্রদত্ত বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (−4)2+(−4)2−16\sqrt{(-4)^2+(-4)^2-16} =32−16=4=\sqrt{32-16}=4 ∴\therefore ব্যাস =2×4=8=2 \times 4=8 (i) ও (ii) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধবত্তী দূরত্ব =8=8 ∴∣−8−k1∣32+42=8\therefore \frac{\left|-8-\mathrm{k}_1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=8 বা, ∣−8−k1∣5=8 या, −8−k1=±40\frac{\left|-8-\mathrm{k}_1\right|}{5}=8 \text{ या, }-8-\mathrm{k}_1= \pm 40 ∴k1=−8±40\therefore \mathrm{k}_1=-8 \pm 40 নিয়ে, k1=−8+40=32\mathrm{k}_1=-8+40=32 নিয়ে, k1=−8−40=−48\mathrm{k}_1=-8-40=-48 চিত্র অনুযায়ী k1=−48\mathrm{k}_1=-48 ∴\therefore নির্ণেয় সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ, 3x+4y−48=03 x+4 y-48=0 ∴3x+4y=48 (Ans.) \therefore 3 x+4 y=48 \text{ (Ans.) }
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন