Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকে প্রদর্শিত বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা [গণিত] রেখার সমান্তরাল।

উত্তর: ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ [গণিত] যেহেতু বৃত্তটি [গণিত] ও [গণিত] উভয় অক্ষকে যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে স্পর্শ করে তাই এর কেন্দ্র [গণিত] হবে। [গণিত] এবং [গণিত] আবার, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে [গণিত] ও c এর মান (i) নং এ বসাই, [গণিত] বা, [গণিত] যেহেতু, বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] ব্যাসার্ধ [গণিত] বৃত্তটির স্পর্শক [গণিত] রেখার সমান্তরাল। তাহলে, বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] .. (ii) আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

উদ্দীপকে প্রদর্শিত বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা রেখার সম…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: PQPQ রেখার সমীকরণ 4x+3y=314x + 3y = 31 question image

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2+2ax+c2=0x^2+y^2+2 a x+c^2=0 এবং x2+y22by+c2=0x^2+y^2 2 b y+c^2=0
….(ii)(i)\ldots .(ii) (i)
নং বৃত্তের কেন্দ্র (−a,0)(-a, 0) এবং ব্যাসার্ধ r1=a2−c2r_1=\sqrt{a^2-\mathrm{c}^2} (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (0,−b)(0,-\mathrm{b}) এবং ব্যাসাধ P2=b2−c2\mathrm{P}_2=\sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2} দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ অথবা অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের যোগফল অথবা বিয়োগফলের হবে সমান। ∴\therefore কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব =∣r1±r2∣=\left|\mathrm{r}_1 \pm \mathrm{r}_2\right| ∴(−a−0)2+(0+b)2=∣a2−c2±b2−c2∣\therefore \quad \sqrt{(-a-0)^2+(0+b)^2}=\left|\sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt{b^2-c^2}\right| বা, a2+b2=∣a2−c2±b2−c2∣\sqrt{a^2+b^2}=\left|\sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt{b^2-c^2}\right| বা, a2+b2=a2−c2+b2−c2±2(a2−c2)(b2−c2)a^2+b^2=a^2-c^2+b^2-c^2 \pm 2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right)} [বর্গ করে] বা, 2c2=±2(a2−c2)(b2−c2)2 c^2= \pm 2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right)} বা, (c2)2=(a2−c2)(b2−c2)\left(c^2\right)^2=\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right) [বর্গ করে] বা, c4=a2b2−a2c2−b2c2+c4c^4=a^2 b^2-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4 বা, a2c2+b2c2=a2b2a^2 c^2+b^2 c^2=a^2 b^2 বা, a2b2a2b2c2=b2c2a2b2c2+a2c2a2b2c2\frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 c^2}=\frac{b^2 c^2}{a^2 b^2 c^2}+\frac{a^2 c^2}{a^2 b^2 c^2} [উভয় পক্ষকে a2b2c2a^2 b^2 c^2 দ্বারা ভাগ করে] ∴1a2+1 b2=1c2\therefore \quad \frac{1}{\mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{~b}^2}=\frac{1}{\mathrm{c}^2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

যেহেতু বৃত্তটি PQPQ রেখাকে R বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং RR বিন্দুগামী এবং PQPQ রেখার উপর লম্ব রেখা বৃত্তটির কেন্দ্রগামী হবে। এখানে, PQPQ রেখার সমীকরণ, 4x+3y=314x + 3y = 31 PQPQ রেখার উপর লম্বরেখা অর্থাৎ, 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 ……(i)\ldots\ldots (i) রেখাটি (7,1)(7, 1) বিন্দুগামী ∴3.7−4.11+k=0\therefore 3.7-4.1 1 + k = 0 বা, 21−4+k=021-4+k=0 বা, 17+k=0\quad 17+k=0 ∴k=−17\therefore \quad k=-17 kk এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 3x−4y−17=03 x-4 y-17=0 বা, 3x−4y=173 x-4 y=17 …...(ii)\ldots... (ii) ধরি, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 …...(iii)\ldots... (iii) যার কেন্দ্র (−g,−f)(-\mathrm{g},-f), যা (i)নং রেখার উপর অবস্থিত। ∴−3g+4f=17\therefore \quad-3 g+4 f=17 ……(iv)\ldots\ldots (iv) আবার, (iii)নং বৃত্ত (7,1)(7,1) বিন্দুগামী. 49+1+14g+2f+c=049+1+14 g+2 f+c=0 বা, 14 g+2f+c=−5014 \mathrm{~g}+2 f+\mathrm{c}=-50 …..(v)\ldots.. (v) এবং (iii)নং বৃত্ত (6,2)(6,2) বিন্দুগামী, 36+4+12g+4f+c=036+4+12 g+4 f+c=0 বা, 12 g+4f+c=−4012 \mathrm{~g}+4 f+\mathrm{c}=-40
……(vi)(iv)\ldots\ldots (vi) (iv)
নং এবং 3×3 \times (vii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, −3 g+4f=17-3 \mathrm{~g}+4 f =17 3 g−3f=−15‾\underline{ 3 \mathrm{~g}-3 f =-15} f=2f =2 ff এর মান (vii)নং এ বসিয়ে পাই, g−2=−5g-2=-5 বा, g=−5+2=−3g=-5+2=-3 ∴g=−3\therefore \quad g=-3 gg ও ff এর মান (v) এ বসিয়ে পাই, 14(−3)+2×2+c=−5014(-3)+2 \times 2+c=-50 বा, −42+4+c=−50-42+4+c=-50 বा, −38+c=−50-38+c=-50 বा, c=−50+38c=-50+38 ∴c=−12\therefore \quad c=-12 এখন, g,f\mathrm{g}, f ও এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6 x+4 y-12=0 ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উত্তর

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0……...(i)x^ 2 + y^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 \ldots\ldots...(i) যেহেতু বৃত্তটি xx ও yy উভয় অক্ষকে যথাক্রমে (−1,0)(-1,0) ও (0,−1)(0, - 1) বিন্দুতে স্পর্শ করে তাই এর কেন্দ্র (−g,−1)=(−1,−1)(-g,-1) = (-1,-1) হবে। ∴g=1\therefore g = 1 এবং f=1f = 1 আবার, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে c=g2=f2=1c = g^ 2 = f^ 2 = 1 g,f\mathrm{g}, f ও c এর মান (i) নং এ বসাই, x2+2×1×x+2×1×y+1=0x^2+2 \times 1 \times x+2 \times 1 \times y+1=0 বা, x2+y2+2x+2y+1=0x^2+y^2+2 x+2 y+1=0 যেহেতু, বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(−1,−1)(-\mathrm{g},-f)=(-1,-1) ∴\therefore ব্যাসার্ধ r=g2+f2−c=12+12−1=1\mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-\mathrm{c}}=\sqrt{1^2+1^2-1}=1 বৃত্তটির স্পর্শক x+y+4=0x+y+4=0 রেখার সমান্তরাল। তাহলে, বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ, x+y+k=0x+y+k=0…..(ii)\ldots.. (ii) আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ ∴∣−1−1+k12+12∣=1\therefore\left|\frac{-1-1+k}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|=1 বা, ∣−2+k2∣=1\left|\frac{-2+k}{\sqrt{2}}\right|=1 বা, ∣(k−2)2∣=1\left|\frac{(k-2)}{\sqrt{2}}\right|=1 বা, k−2=±2k-2= \pm \sqrt{2} ∴k=2±2\therefore \quad k=2 \pm \sqrt{2} kk এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x+y+2±2=0x+y+2 \pm \sqrt{2}=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ x+y+2±2=0x+y+2 \pm \sqrt{2}=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন