Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে, বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশের সমত্রিখণ্ডক বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, বৃত্ত দুইটির সমীকরণ [গণিত] (1) এবং [গণিত] .. (2) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , যা বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, বা, [গণিত] বা, [গণিত] জ্যাটি [গণিত] অক্ষকে [গণিত] বিন্দুতে এবং [গণিত] অক্ষকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। ধরি, [গণিত] বিন্দুদ্বয় AB এর সমত্রিখন্ডন বিন্দু। তাহলে, P বিন্দু AB কে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। [গণিত] বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] আবার, [গণিত] বিন্দু [গণিত] কে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। [গণিত] বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] OP রেখার ঢাল, [গণিত] OP রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] রেখার ঢাল, [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় সমীকরণ, [গণিত] এবং [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে, বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্…

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২ : দুইটি বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+6x+2y+6=0x^2+y^2+6 x+2 y+6=0 এবং x2+y2+8x+y+10=0x^2+y^2+8 x+y+10=0.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রেখা, px+qy=1…..(1)px+qy = 1 \ldots.. (1) এবং বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=a2……….(2)x^2 + y^2 = a^2 \ldots\ldots\ldots.(2) বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ =a= a যদি কেন্দ্র হতে রেখার লম্ব-দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয় তবেই রেখাটিকে স্পর্শ করবে। ∴∣p.0+q⋅0−1∣p2+q2=a\therefore \frac{|\mathrm{p} .0+\mathrm{q} \cdot 0-1|}{\sqrt{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}}=\mathrm{a} বা, ∣−1∣p2+q2=a\frac{|-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a বা, 1p2+q2=±a\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}= \pm a বা, 1p2+q2=a2\frac{1}{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}=\mathrm{a}^2 [বর্গ করে] ∴p2+q2=1a2\therefore \quad \mathbf{p}^2+q^2=\frac{1}{\mathbf{a}^2}; যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। ∴(p,q)\therefore \quad(p, q) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত। (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−2x−4y+1=0x^2+y^2-2 x-4 y+1=0. এবং স্পর্শকের সমীকরণ, xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. (1) নং হতে পাই, x2+y2+2⋅(−1)⋅x+2⋅(−2)⋅y+1=0x^2+y^2+2 \cdot(-1) \cdot x+2 \cdot(-2) \cdot y+1=0 এখানে, g=−1,f=−2\mathrm{g}=-1, f=-2 এবং c=1\mathrm{c}=1 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(1,2)(-g,-f)=(1,2) এবং ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-c} =(−1)2+(−2)2−1=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-1} =1+4−1=4=2=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2 A(−5,4)A(-5,4) ) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y−4=m(x+5)y-4=m(x+5) বা, y−4=mx+5my-4=m x+5 m বা, mx−y+5m+4=0m x-y+5 m+4=0 (3) নং রেখা (1) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা, ∣m⋅1−2+5m+4m2+12∣=2\left|\frac{m \cdot 1-2+5 m+4}{\sqrt{m^2+1^2}}\right|=2 বা, (6m+2)2m2+1=4\frac{(6 m+2)^2}{m^2+1}=4 [বর্গ করে] বা, 36 m2+24 m+4=4 m2+436 \mathrm{~m}^2+24 \mathrm{~m}+4=4 \mathrm{~m}^2+4 বা, 32m2+24m=032 m^2+24 m=0 বা, m(32m+24)=0m(32 m+24)=0 হয়, m=0\mathrm{m}=0 [AT এর ঢাল] অথবা, 32 m+24=032 \mathrm{~m}+24=0 বা, 32m=−2432 m=-24 ∴m=−34[∵AR\therefore \mathrm{m}=\frac{-3}{4}[\because \mathrm{AR} স্পর্শকের ঢাল] m=0m=0 হলে, (3) নং হতে পাই, 0.x−y+5.0+4=00 . x-y+5.0+4=0 বা, y=4y=4 বা, x∞+y4=1\frac{x}{\infty}+\frac{y}{4}=1 ইহাই AT স্পর্শকের সমীকরণ (2) নং এর সাথে তুলনা করে পাই, a=∞a=\infty এবং b=4b=4. নির্ণেয় মান : a=∞a=\infty এবং b=4b=4.

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্ত দুইটির সমীকরণ x2+y2+6x+2y+6=0x^2+y^2+6 x+2 y+6=0 ……(1)\ldots\ldots (1) এবং x2+y2+8x+y+10=0x^2+y^2+8 x+y+10=0 …..(2)\ldots.. (2) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ (1)−(2)=0(1)-(2)=0 বা, (x2+y2+6x+2y+6)−(x2+y2+8x+y+10)=0\left(x^2+y^2+6 x+2 y+6\right)-\left(x^2+y^2+8 x+y+10\right)=0 বা, (6−8)x+(2−1)y+(6−10)=0(6-8) x+(2-1) y+(6-10)=0 বা, −2x+y−4=0-2 x+y-4=0, যা বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, বা, −2x+y=4-2 x+y=4 বা, x−2+y4=1\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1 জ্যাটি xx অক্ষকে A(−2,0)A(-2, 0) বিন্দুতে এবং yy অক্ষকে B(0,4)B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে। ধরি, P,QP, Q বিন্দুদ্বয় AB এর সমত্রিখন্ডন বিন্দু। তাহলে, P বিন্দু AB কে 1:21: 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴P\therefore P বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(1.0+2.(−2)1+2,1.4+2.01+2)=(−43,43)=\left(\frac{1.0+2 .(-2)}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2}\right)=\left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) আবার, QQ বিন্দু ABAB কে 2:12 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴Q\therefore Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(2.0+1.(−2)2+1,2.4+1.02+1)=(−23,83)=\left(\frac{2.0+1 .(-2)}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1}\right)=\left(\frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right) OP রেখার ঢাল, m1=43−0−43−0=43×(−34)=−1m_1=\frac{\frac{4}{3}-0}{-\frac{4}{3}-0}=\frac{4}{3} \times\left(-\frac{3}{4}\right)=-1 ∴\therefore \quad OP রেখার সমীকরণ, y=m1⋅xy=m_1 \cdot x বা, y=−1.x∴x+y=0y=-1 . x \therefore x+y=0 OQO Q রেখার ঢাল, m2=83−0−23−0=83×(−32)=−4m_2=\frac{\frac{8}{3}-0}{-\frac{2}{3}-0}=\frac{8}{3} \times\left(-\frac{3}{2}\right)=-4 ∴OQ\therefore O Q রেখার সমীকরণ, y=m2xy=m_2 x বা, y=−4x∴4x+y=0y=-4 x \therefore 4 x+y=0 নির্ণেয় সমীকরণ, x+y=0x+y=0 এবং 4x+y=04 x+y=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন