Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: এখানে, [গণিত] এবং [গণিত] এবং বৃত্তটি [গণিত] অক্ষকে [গণিত] বিন্দুতে স্পর্শ করে। [গণিত] তাই [গণিত] এর মধ্যবিন্দু। [চিত্র] [গণিত] বৃতটির কেন্দ্র C এর ভুজ হবে F এর [গণিত] স্থানাঙ্ক অর্থাং 5 এবং কোটি হবে D এর y স্থানাঙ্ক অর্থাৎ 3 [গণিত] কেন্দ্র [গণিত] ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ [গণিত] .. (1) এখানে, [গণিত] (1) নং বৃত্তটি যেহেতু y অক্ষকে স্পর্শ করে [গণিত] এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] . বিকল্প পদ্ধতি : এখানে, A ও B বিন্দুদ্বয়ের স্থান্ঙ্ক যথাক্রমে, [গণিত] ও [গণিত] ও [গণিত] এর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য; [গণিত] একক। ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, [গণিত] . (1) বৃত্তটি [গণিত] -অক্ষকে স্পর্শ করে, [গণিত] .. (2) [চিত্র] আবার, (1) নং বৃত্তটি [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (2) নং হতে পাই, [গণিত] x-অক্ষের ছেদাংশ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে] এখন, [গণিত] এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x=0,y=0x = 0, y = 0 এবং x=10x = 10 তিনটি সরলরেখার সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: question image

ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা · 2025

উত্তর

এখানে, r−2cos⁡θ+4sin⁡θ=0r-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0} বা, r2−2rcos⁡θ+4rsin⁡θ=0r^{2}-2 r \cos \theta+4 r \sin \theta=0 [উভয় পক্ষকে rr দ্বারা গুগ করে] বা, x2+y2−2x+4y=0x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0 ………(1)\ldots\ldots\ldots (1) [∵x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ[\because x=r \cos \theta, y=r \sin \theta এবং x2+y2=r2]x^{2}+y^{2}=r^{2}] (1) নং কে x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, 2 g=−22 \mathrm{~g}=-2 বা, g=−1\mathrm{g}=-1 2f=42 f=4 বা, f=2f=2 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(1,−2)(-\mathrm{g},-f)=(1,-2) নির্ণেয় বৃত্তটির কেন্দ্র (1,−2)(1,-2).

উত্তর

প্রদত্ত রেখা তিনটি \quad x = 0 ……….(i)\ldots\ldots\ldots. (i) \quad y = 0 ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) \quad x = 10 ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) question image মনে করি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0
………(iv)(iv)\ldots\ldots\ldots (iv) (iv)
নং বৃত্তটি (i), (ii) ও (iii) নং রেখাকে স্পর্শ করে। y2+2fy+c=0y^{2}+2 f y+c=0 ……...(v)\ldots\ldots... (v) x2+2gx+c=0\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{gx}+\mathrm{c}=0 ……..(vi)\ldots\ldots.. (vi) এবং 102+y2+2 g⋅10+2fy+c=010^{2}+y^{2}+2 \mathrm{~g} \cdot 10+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 বা, 100+y2+20g+2fy+c=0100+y^{2}+20 g+2 f y+c=0
……..(vii)(vii)\ldots\ldots.. (vii) (vii)
নং হতে (v) নং বিয়োগ করে পাই, 100+20 g=0100+20 \mathrm{~g}=0 বা, 20 g=−10020 \mathrm{~g}=-100 ∴g=−5\therefore \mathrm{g}=-5 আবার, বৃত্তটি y=0y=0 বা xx-অক্ষকে স্পর্শ করলে, g2=c\mathrm{g}^{2}=\mathrm{c} বা, (−5)2=c(-5)^{2}=c বা, 25=c25=\mathrm{c} ∴c=25\therefore \quad \mathrm{c}=25 বৃত্তটি x=0x=0 বা yy-অক্ষকে স্পর্শ করলে, f2=cf^{2}=\mathrm{c} বা, f2=25f^{2}=25 ∴f=±5\therefore f= \pm 5 এখন, g,f,c\mathrm{g}, f, \mathrm{c} এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)⋅x+2⋅(±5)y+25=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) \cdot x+2 \cdot( \pm 5) y+25=0 বা, x2+y2−10x±10y+25=0x^{2}+y^{2}-10 x \pm 10 y+25=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x+10y+25=0x^{2}+y^{2}-10 x+10 y+25=0

উত্তর

এখানে, A(1,0)\mathrm{A}(1,0) এবং B(9,0)\mathrm{B}(9,0) এবং বৃত্তটি y\mathrm{y} অক্ষকে D(0,3)\mathrm{D}(0,3) বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∴CF⊥AB\therefore \mathrm{CF} \perp \mathrm{AB} তাই F,AB\mathrm{F}, \mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দু। question image ∴F≡(1+92,0+02)≡(5,0)\therefore \mathrm{F} \equiv\left(\frac{1+9}{2}, \frac{0+0}{2}\right) \equiv(5,0) বৃতটির কেন্দ্র C এর ভুজ হবে F এর xx স্থানাঙ্ক অর্থাং 5 এবং কোটি হবে D এর y স্থানাঙ্ক অর্থাৎ 3 ∴\therefore কেন্দ্র C(5,3)\mathrm{C}(5,3) ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 f \mathrm{y}+\mathrm{c}=0 ……..(1)\ldots\ldots.. (1) এখানে, g=−5,f=−3\mathrm{g}=-5, f=-3 (1) নং বৃত্তটি যেহেতু y অক্ষকে স্পর্শ করে c=f2=(−3)2=9\mathrm{c}=f^{2}=(-3)^{2}=9 g,f,c\mathrm{g}, f, \mathrm{c} এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)x+2⋅(−3)g+9=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) x+2 \cdot(-3) g+9=0 বা, x2+y−2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{-2}-10 x-6 y+9=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0. বিকল্প পদ্ধতি : এখানে, A ও B বিন্দুদ্বয়ের স্থান্ঙ্ক যথাক্রমে, (1,0)(1,0) ও (9,0)(9,0) ∴A\therefore A ও BB এর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য; AB=(9−1)2+(0−0)2=82=8\mathrm{AB}=\sqrt{(9-1)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{8^{2}}=8 একক। ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 f \mathrm{y}+\mathrm{c}=0 …….(1)\ldots\ldots. (1) বৃত্তটি yy-অক্ষকে স্পর্শ করে, ∴f2=c\therefore f^{2}=\mathrm{c} ……..(2)\ldots\ldots.. (2) question image আবার, (1) নং বৃত্তটি (0,3)(0,3) বিন্দুগামী, ∴0+32+2 g⋅0+2⋅f⋅3+c=0\therefore 0+3^{2}+2 \mathrm{~g} \cdot 0+2 \cdot \mathrm{f} \cdot 3+\mathrm{c}=0 বা, 9+6f+c=09+6 f+\mathrm{c}=0 বা, 9+6f+f2=0[∵c=f2]9+6 f+f^{2}=0 \quad\left[\because \mathrm{c}=f^{2}\right] বা, (f+3)2=0(f+3)^{2}=0 বা, f+3=0f+3=0 ∴f=−3\therefore f=-3 (2) নং হতে পাই, c=(−3)2=9∴c=9\mathrm{c}=(-3)^{2}=9 \quad \therefore \mathrm{c}=9 x-অক্ষের ছেদাংশ, AB=8\mathrm{AB}=8 বা, 2g2−c=82 \sqrt{\mathrm{g}^{2}-\mathrm{c}}=8 বা, g2−9=4\sqrt{\mathrm{g}^{2}-9}=4 বা, g2−9=16\mathrm{g}^{2}-9=16 [বর্গ করে] বা, g2=16+9=25\mathrm{g}^{2}=16+9=25 বা, g=±5\mathrm{g}= \pm 5 ∴g=−5[∵\therefore \mathrm{g}=-5[\because বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে] এখন, g,f,c\mathrm{g}, \mathrm{f}, \mathrm{c} এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)⋅x+2⋅(−3)g+9=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) \cdot x+2 \cdot(-3) g+9=0 বা, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন