Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র C বৃত্তটি [গণিত] এর একটি অন্ত:বৃত্ত। সুতরাং ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রই হবে বৃত্তটির কেন্দ্র। এখানে, AB এর সমীকরণ, বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (1) OB এর সমীকরণ : [গণিত] . (2) OA এর সমীকরণ : [গণিত] . (3) OB ও OA এর সমদ্বিখন্ডক OC। তাই OC এর সমীকরণ হবে [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অथবা, [গণিত] এখানে, [গণিত] হবে। কারণ OC এর ঢাল ঋণাত্মক হবে। [গণিত] . আবার (1) ও (3) নং এর সমদ্বিখন্ডক [গণিত] এর সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] এখানে, [গণিত] এর সমীকরণ হবে, [গণিত] [কারণ AC, x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সুক্ষকোণ উৎপন্ন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ... (5) এখন, (4) ও (5) নং সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র বা বৃত্তটির কেন্দ্র। সুতরাং [গণিত] এর মান (4) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] সুতরাং বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই, [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, [গণিত] এখন, [গণিত] কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

উদ্দীপকের বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2023

উত্তর

এখানে, r−2cos⁡θ+4sin⁡θ=0r-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0} বা, r2−2rcos⁡θ+4rsin⁡θ=0r^{2}-2 r \cos \theta+4 r \sin \theta=0 [উভয় পক্ষকে rr দ্বারা গুগ করে] বা, x2+y2−2x+4y=0x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0 ………(1)\ldots\ldots\ldots (1) [∵x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ[\because x=r \cos \theta, y=r \sin \theta এবং x2+y2=r2]x^{2}+y^{2}=r^{2}] (1) নং কে x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, 2 g=−22 \mathrm{~g}=-2 বা, g=−1\mathrm{g}=-1 2f=42 f=4 বা, f=2f=2 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(1,−2)(-\mathrm{g},-f)=(1,-2) নির্ণেয় বৃত্তটির কেন্দ্র (1,−2)(1,-2).

উত্তর

এখানে, A(−8,0)\mathrm{A}(-8,0) এবং B(0,6)\mathrm{B}(0,6) ∴AB=(−8−0)2+(0−6)2\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{(-8-0)^{2}+(0-6)^{2}} =64+36=100=10=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 ধরি, বৃতেতের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 …….(1)\ldots\ldots. (1) question image (1) নং বৃত্তটি y\mathrm{y} অক্ষকে B(0,6)\mathrm{B}(0,6) বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং, কেন্দ্রের কোটির স্থানাঙ্ক হবে, −f=6-f=6 ∴f=−6\therefore f=-6 এবং y\mathrm{y} অক্ষকে স্পর্শ করলে, f2=cf^{2}=\mathrm{c} বা, c=f2=(−6)2\mathrm{c}=f^{2}=(-6)^{2} ∴c=36\therefore \quad c=36 আবার, x\mathrm{x} অক্ষ হতে কর্তিত অংশ =AB=\mathrm{AB} অর্থাৎ, 2g2−c=102 \sqrt{\mathrm{g}^{2}-\mathrm{c}}=10 বা, g2−c=5\sqrt{\mathrm{g}^{2}-\mathrm{c}}=5 বা, g2−36=5\sqrt{\mathrm{g}^{2}-36}=5 বা, g2−36=25\mathrm{g}^{2}-36=25 বা, g2=36+25=61\mathrm{g}^{2}=36+25=61 ∴g=±61\therefore \mathrm{g}= \pm \sqrt{61} সুতরাং (1) নং এ g,f,c\mathrm{g}, \mathrm{f}, \mathrm{c} এর মান বসিয়ে পাই, x2+y2±261x−12y+36=0x^{2}+y^{2} \pm 2 \sqrt{61} x-12 y+36=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2±261x−12y+36=0x^{2}+y^{2} \pm 2 \sqrt{61} x-12 y+36=0.

উত্তর

question image ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র C বৃত্তটি ΔOAB\Delta{OAB} এর একটি অন্ত:বৃত্ত। সুতরাং ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্রই হবে বৃত্তটির কেন্দ্র। এখানে, AB এর সমীকরণ, বা, y−6x−0=0−6−8−0\frac{y-6}{x-0}=\frac{0-6}{-8-0} বা, y−6x=34\frac{y-6}{x}=\frac{3}{4} বা, 3x=4y−243 x=4 y-24 ∴3x−4y+24=0\therefore 3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+24=0
…….(1)OB\ldots\ldots. (1) OB
এর সমীকরণ : x=0x=0
…….(2)OA\ldots\ldots. (2) OA
এর সমীকরণ : y=0y=0
…….(3)OB\ldots\ldots. (3) OB
ও OA এর সমদ্বিখন্ডক OC। তাই OC এর সমীকরণ হবে x12=±y12\frac{x}{\sqrt{1^{2}}}=\frac{ \pm y}{\sqrt{1^{2}}} বা, x=±yx= \pm y হয়, y=xy=x অथবা, y=−xy=-x এখানে, y=−xy=-x হবে। কারণ OC এর ঢাল ঋণাত্মক হবে। ∴y=−x\therefore \mathrm{y}=-\mathrm{x}. আবার (1) ও (3) নং এর সমদ্বিখন্ডক AC\mathrm{AC} এর সমীকরণ, y12=±(3x−4y+24)32+(−4)2\frac{y}{\sqrt{1^{2}}}= \pm \frac{(3 x-4 y+24)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} বা, y=±(3x−4y+24)25y= \pm \frac{(3 x-4 y+24)}{\sqrt{25}} ∴y=±(3x−4y+24)5\therefore \quad y= \pm \frac{(3 x-4 y+24)}{5} এখানে, AC\mathrm{AC} এর সমীকরণ হবে, y=+(3x−4y+24)5y=+\frac{(3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+24)}{5} [কারণ AC, x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সুক্ষকোণ উৎপন্ন করে] বা, 5y=3x−4y+245 y=3 x-4 y+24 বা, 5y+4y=3x+245 y+4 y=3 x+24 বা, 9y=3x+249 y=3 x+24 ∴3y=x+8\therefore 3 y=x+8 …...(5)\ldots... (5) এখন, (4) ও (5) নং সমীকরণদ্বয়ের ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র বা বৃত্তটির কেন্দ্র। সুতরাং 3y=−y+83 y=-y+8 ∴y=2\therefore \mathrm{y}=2 yy এর মান (4) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2=−x2=-x ∴x=−2\therefore \mathrm{x}=-2 সুতরাং বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)≡(−2,2)(-\mathrm{g},-f) \equiv(-2,2) অর্থাৎ g=2,f=−2\mathrm{g}=2, f=-2 বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই, g2=f2=c\mathrm{g}^{2}=f^{2}=\mathrm{c} বা, c=(−2)2=22=4\mathrm{c}=(-2)^{2}=2^{2}=4 ∴\therefore বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, r=g2+f2−cr=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c} =22+(−2)2−4=4+4−4=4=2=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}-4}=\sqrt{4+4-4}=\sqrt{4}=2 এখন, (−2,2)(-2,2) কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x+2)2+(y−2)2=22(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2} বা, x2+4x+4+y2−4y+4=4x^{2}+4 x+4+y^{2}-4 y+4=4 বা, x2+y2+4x−4y+4=0x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+4=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+4x−4y+4=0x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+4=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন