Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [r দ্বারা গুণ করে] বা, [গণিত] এব० [গণিত] ; বা কার্তেসীয় সমীকরণ। নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ, [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image চিত্রে C1 A=12OB=14OC2=1\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=\frac{1}{2} \mathrm{OB}=\frac{1}{4} \mathrm{OC}_{2}=1 একক।

চট্টগ্রাম কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ, r=8sin⁡θ2cos⁡θ2\mathrm{r}=8 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} বা, r=4×2sin⁡θ2cos⁡θ2r=4 \times 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} বা, r=4sin⁡(2×θ2)r=4 \sin \left(2 \times \frac{\theta}{2}\right) বা, r=4sin⁡θr=4 \sin \theta বা, r2=4rsin⁡θr^{2}=4 r \sin \theta [r দ্বারা গুণ করে] বা, x2+y2=4y[∵r2=x2+y2x^{2}+y^{2}=4 y\left[\because r^{2}=x^{2}+y^{2}\right. এব० y=rsin⁡θ]\left.y=r \sin \theta\right] ∴x2+y2−4y=0\therefore \quad x^{2}+y^{2}-4 y=0; বা কার্তেসীয় সমীকরণ। নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ, x2+y2−4y=0x^{2}+y^{2}-4 y=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, C1 A=12OB=14OC2=1\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=\frac{1}{2} \mathrm{OB}=\frac{1}{4} \mathrm{OC}_{2}=1 ∴C1 A=1,12OB=1,14OC2=1\therefore \quad \mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=1, \frac{1}{2} \mathrm{OB}=1, \frac{1}{4} \mathrm{OC}_{2}=1 ∴OB=2,OC2=4\therefore \quad \mathrm{OB}=2, \mathrm{OC}_{2}=4 তাহলে, মূলবিন্দু (0,0)(0,0) কেন্দ্র এবং OB=2O B=2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x−0)2+(y−0)2=22(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2} বা, x2+y2=4x^{2}+y^{2}=4 ∴x2+y2−4=0\therefore \quad x^{2}+y^{2}-4=0 …….(1)\ldots\ldots. (1) আবার, C1 A=1\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=1 হওয়ায়, BC1=C1 A=1\mathrm{BC}_{1}=\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=1 ∴C1\therefore \quad \mathrm{C}_{1} কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক C1(OB,BC1)\mathrm{C}_{1}\left(\mathrm{OB}, \mathrm{BC}_{1}\right) বা, C1=(2,1)\mathrm{C}_{1}=(2,1) এবং ব্যাসার্ধ BC1=C1 A=1\mathrm{BC}_{1}=\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=1 ∴C1(2,1)\therefore \quad \mathrm{C}_{1}(2,1) কেন্দ্র ও C1 A=1\mathrm{C}_{1} \mathrm{~A}=1 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x−2)2+(y−1)2=12(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1^{2} বা, x2−4x+4+y2−2y+1=1x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1=1 ∴x2+y2−4x−2y+4=0\therefore x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+4=0 (1) ও (2)নং বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, (1)−(2)=0(1)-(2)=0 বা, (x2+y2−4)−(x2+y2−4x−2y+4)=0\left(x^{2}+y^{2}-4\right)-\left(x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+4\right)=0 বা, x2+y2−4−x2−y2+4x+2y−4=0x^{2}+y^{2}-4-x^{2}-y^{2}+4 x+2 y-4=0 বা, 4x+2y−8=04 x+2 y-8=0 ∴2x+y−4=0\therefore \quad 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-4=0 নির্ণেয় সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, 2x+y−4=02 \mathrm{x}+\mathrm{y}-4=0.

উত্তর

এখানে, C1C_{1} কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র C1(2,1)C_{1}(2,1) ব্যাসার্ধ = 1 C2\mathrm{C}_{2} কেন্দ্দবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র C2(4,0)[∵14OC2=1∴OC2=4]\mathrm{C}_{2}(4,0)\left[\because \frac{1}{4} \mathrm{OC}_{2}=1 \therefore \mathrm{OC}_{2}=4\right] ধরি, ব্যাসার্ধ = rr বৃত্তদ্বয় পরস্পর বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে ∴\therefore \quad বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল বা, C1C2=1+r\mathrm{C}_{1} \mathrm{C}_{2}=1+\mathrm{r} বা, (2−4)2+(1−0)2=1+r\sqrt{(2-4)^{2}+(1-0)^{2}}=1+r বা, 4+1=1+r\sqrt{4+1}=1+r বা, r=5−1r=\sqrt{5}-1 মনে করি, OD এর সমীকরণ, y=mxy=m x …..(1)\ldots.. (1) তাহলে কেন্দ্র C2(4,0)C_{2}(4,0) হতে (1)নং এর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা, ∣4m−0m2+1∣=5−1\left|\frac{4 m-0}{\sqrt{m^{2}+1}}\right|=\sqrt{5}-1 বা, ∣4 mm2+1∣=5−1\left|\frac{4 \mathrm{~m}}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+1}}\right|=\sqrt{5}-1 বা, 16m2m2+1=(5−1)2\frac{16 m^{2}}{m^{2}+1}=(\sqrt{5}-1)^{2} [বর্গ করর] বা, 16m2=(m2+1)(5−1)216 m^{2}=\left(m^{2}+1\right)(\sqrt{5}-1)^{2} বা, 16 m2=(m2+1)(5−25+1)16 \mathrm{~m}^{2}=\left(\mathrm{m}^{2}+1\right)(5-2 \sqrt{5}+1) বা, 16 m2=(m2+1)(6−25)16 \mathrm{~m}^{2}=\left(\mathrm{m}^{2}+1\right)(6-2 \sqrt{5}) বা, 16m2=6m2−25m2+6−2516 m^{2}=6 m^{2}-2 \sqrt{5} m^{2}+6-2 \sqrt{5} বা, 10m2+25m2=6−2510 m^{2}+2 \sqrt{5} m^{2}=6-2 \sqrt{5} বা, (10+25)m2=6−25(10+2 \sqrt{5}) \mathrm{m}^{2}=6-2 \sqrt{5} বা, m2=6−2510+25=3−55+5m^{2}=\frac{6-2 \sqrt{5}}{10+2 \sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} ∴m=±3−55+5\therefore m= \pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}} mm এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, y=±3−55+5xy= \pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}} x নির্ণেয় সমীকরণ, y=±3−55+5xy= \pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}} x
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন