Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] রেখাটি [গণিত] বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, [গণিত] বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।

উত্তর: প্রদত্ত রেখা, [গণিত] এবং বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ [গণিত] যদি কেন্দ্র হতে রেখার লম্ব-দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয় তবেই রেখাটিকে স্পর্শ করবে। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] [গণিত] ; যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। [গণিত] বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত। (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অব…

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২ : দুইটি বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+6x+2y+6=0x^2+y^2+6 x+2 y+6=0 এবং x2+y2+8x+y+10=0x^2+y^2+8 x+y+10=0.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রেখা, px+qy=1…..(1)px+qy = 1 \ldots.. (1) এবং বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=a2……….(2)x^2 + y^2 = a^2 \ldots\ldots\ldots.(2) বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ =a= a যদি কেন্দ্র হতে রেখার লম্ব-দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয় তবেই রেখাটিকে স্পর্শ করবে। ∴∣p.0+q⋅0−1∣p2+q2=a\therefore \frac{|\mathrm{p} .0+\mathrm{q} \cdot 0-1|}{\sqrt{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}}=\mathrm{a} বা, ∣−1∣p2+q2=a\frac{|-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a বা, 1p2+q2=±a\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}= \pm a বা, 1p2+q2=a2\frac{1}{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}=\mathrm{a}^2 [বর্গ করে] ∴p2+q2=1a2\therefore \quad \mathbf{p}^2+q^2=\frac{1}{\mathbf{a}^2}; যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে। ∴(p,q)\therefore \quad(p, q) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত। (দেখানো হলো)

উত্তর

এখানে, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−2x−4y+1=0x^2+y^2-2 x-4 y+1=0. এবং স্পর্শকের সমীকরণ, xa+yb=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. (1) নং হতে পাই, x2+y2+2⋅(−1)⋅x+2⋅(−2)⋅y+1=0x^2+y^2+2 \cdot(-1) \cdot x+2 \cdot(-2) \cdot y+1=0 এখানে, g=−1,f=−2\mathrm{g}=-1, f=-2 এবং c=1\mathrm{c}=1 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(1,2)(-g,-f)=(1,2) এবং ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-c} =(−1)2+(−2)2−1=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-1} =1+4−1=4=2=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2 A(−5,4)A(-5,4) ) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y−4=m(x+5)y-4=m(x+5) বা, y−4=mx+5my-4=m x+5 m বা, mx−y+5m+4=0m x-y+5 m+4=0 (3) নং রেখা (1) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা, ∣m⋅1−2+5m+4m2+12∣=2\left|\frac{m \cdot 1-2+5 m+4}{\sqrt{m^2+1^2}}\right|=2 বা, (6m+2)2m2+1=4\frac{(6 m+2)^2}{m^2+1}=4 [বর্গ করে] বা, 36 m2+24 m+4=4 m2+436 \mathrm{~m}^2+24 \mathrm{~m}+4=4 \mathrm{~m}^2+4 বা, 32m2+24m=032 m^2+24 m=0 বা, m(32m+24)=0m(32 m+24)=0 হয়, m=0\mathrm{m}=0 [AT এর ঢাল] অথবা, 32 m+24=032 \mathrm{~m}+24=0 বা, 32m=−2432 m=-24 ∴m=−34[∵AR\therefore \mathrm{m}=\frac{-3}{4}[\because \mathrm{AR} স্পর্শকের ঢাল] m=0m=0 হলে, (3) নং হতে পাই, 0.x−y+5.0+4=00 . x-y+5.0+4=0 বা, y=4y=4 বা, x∞+y4=1\frac{x}{\infty}+\frac{y}{4}=1 ইহাই AT স্পর্শকের সমীকরণ (2) নং এর সাথে তুলনা করে পাই, a=∞a=\infty এবং b=4b=4. নির্ণেয় মান : a=∞a=\infty এবং b=4b=4.

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্ত দুইটির সমীকরণ x2+y2+6x+2y+6=0x^2+y^2+6 x+2 y+6=0 ……(1)\ldots\ldots (1) এবং x2+y2+8x+y+10=0x^2+y^2+8 x+y+10=0 …..(2)\ldots.. (2) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ (1)−(2)=0(1)-(2)=0 বা, (x2+y2+6x+2y+6)−(x2+y2+8x+y+10)=0\left(x^2+y^2+6 x+2 y+6\right)-\left(x^2+y^2+8 x+y+10\right)=0 বা, (6−8)x+(2−1)y+(6−10)=0(6-8) x+(2-1) y+(6-10)=0 বা, −2x+y−4=0-2 x+y-4=0, যা বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, বা, −2x+y=4-2 x+y=4 বা, x−2+y4=1\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1 জ্যাটি xx অক্ষকে A(−2,0)A(-2, 0) বিন্দুতে এবং yy অক্ষকে B(0,4)B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে। ধরি, P,QP, Q বিন্দুদ্বয় AB এর সমত্রিখন্ডন বিন্দু। তাহলে, P বিন্দু AB কে 1:21: 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴P\therefore P বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(1.0+2.(−2)1+2,1.4+2.01+2)=(−43,43)=\left(\frac{1.0+2 .(-2)}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2}\right)=\left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) আবার, QQ বিন্দু ABAB কে 2:12 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴Q\therefore Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(2.0+1.(−2)2+1,2.4+1.02+1)=(−23,83)=\left(\frac{2.0+1 .(-2)}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1}\right)=\left(\frac{-2}{3}, \frac{8}{3}\right) OP রেখার ঢাল, m1=43−0−43−0=43×(−34)=−1m_1=\frac{\frac{4}{3}-0}{-\frac{4}{3}-0}=\frac{4}{3} \times\left(-\frac{3}{4}\right)=-1 ∴\therefore \quad OP রেখার সমীকরণ, y=m1⋅xy=m_1 \cdot x বা, y=−1.x∴x+y=0y=-1 . x \therefore x+y=0 OQO Q রেখার ঢাল, m2=83−0−23−0=83×(−32)=−4m_2=\frac{\frac{8}{3}-0}{-\frac{2}{3}-0}=\frac{8}{3} \times\left(-\frac{3}{2}\right)=-4 ∴OQ\therefore O Q রেখার সমীকরণ, y=m2xy=m_2 x বা, y=−4x∴4x+y=0y=-4 x \therefore 4 x+y=0 নির্ণেয় সমীকরণ, x+y=0x+y=0 এবং 4x+y=04 x+y=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti