Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের আলোকে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা [গণিত] রেখাকে [গণিত] বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং $(6, 2) বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর: যেহেতু বৃত্তটি [গণিত] রেখাকে R বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং [গণিত] বিন্দুগামী এবং [গণিত] রেখার উপর লম্ব রেখা বৃত্তটির কেন্দ্রগামী হবে। এখানে, [গণিত] রেখার সমীকরণ, [গণিত] রেখার উপর লম্বরেখা অর্থাৎ, [গণিত] (i) রেখাটি [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] ... (ii) ধরি, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ, [গণিত] ... (iii) যার কেন্দ্র [গণিত] , যা (i)নং রেখার উপর অবস্থিত। [গণিত] (iv) আবার, (iii)নং বৃত্ত [গণিত] বিন্দুগামী. [গণিত] বা, [গণিত] .. (v) এবং (iii)নং বৃত্ত [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] বা, [গণিত] (vi) (iv)নং এবং [গণিত] (vii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] এর মান (vii)নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বा, [গণিত] ও [গণিত] এর মান (v) এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বा, [গণিত] বा, [গণিত] বा, [গণিত] এখন, [গণিত] ও এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

উদ্দীপকের আলোকে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা রেখাকে বিন্দুতে …

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: PQPQ রেখার সমীকরণ 4x+3y=314x + 3y = 31 question image

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2+2ax+c2=0x^2+y^2+2 a x+c^2=0 এবং x2+y22by+c2=0x^2+y^2 2 b y+c^2=0
….(ii)(i)\ldots .(ii) (i)
নং বৃত্তের কেন্দ্র (−a,0)(-a, 0) এবং ব্যাসার্ধ r1=a2−c2r_1=\sqrt{a^2-\mathrm{c}^2} (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (0,−b)(0,-\mathrm{b}) এবং ব্যাসাধ P2=b2−c2\mathrm{P}_2=\sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2} দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ অথবা অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের যোগফল অথবা বিয়োগফলের হবে সমান। ∴\therefore কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব =∣r1±r2∣=\left|\mathrm{r}_1 \pm \mathrm{r}_2\right| ∴(−a−0)2+(0+b)2=∣a2−c2±b2−c2∣\therefore \quad \sqrt{(-a-0)^2+(0+b)^2}=\left|\sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt{b^2-c^2}\right| বা, a2+b2=∣a2−c2±b2−c2∣\sqrt{a^2+b^2}=\left|\sqrt{a^2-c^2} \pm \sqrt{b^2-c^2}\right| বা, a2+b2=a2−c2+b2−c2±2(a2−c2)(b2−c2)a^2+b^2=a^2-c^2+b^2-c^2 \pm 2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right)} [বর্গ করে] বা, 2c2=±2(a2−c2)(b2−c2)2 c^2= \pm 2 \sqrt{\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right)} বা, (c2)2=(a2−c2)(b2−c2)\left(c^2\right)^2=\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right) [বর্গ করে] বা, c4=a2b2−a2c2−b2c2+c4c^4=a^2 b^2-a^2 c^2-b^2 c^2+c^4 বা, a2c2+b2c2=a2b2a^2 c^2+b^2 c^2=a^2 b^2 বা, a2b2a2b2c2=b2c2a2b2c2+a2c2a2b2c2\frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 c^2}=\frac{b^2 c^2}{a^2 b^2 c^2}+\frac{a^2 c^2}{a^2 b^2 c^2} [উভয় পক্ষকে a2b2c2a^2 b^2 c^2 দ্বারা ভাগ করে] ∴1a2+1 b2=1c2\therefore \quad \frac{1}{\mathrm{a}^2}+\frac{1}{\mathrm{~b}^2}=\frac{1}{\mathrm{c}^2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

যেহেতু বৃত্তটি PQPQ রেখাকে R বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং RR বিন্দুগামী এবং PQPQ রেখার উপর লম্ব রেখা বৃত্তটির কেন্দ্রগামী হবে। এখানে, PQPQ রেখার সমীকরণ, 4x+3y=314x + 3y = 31 PQPQ রেখার উপর লম্বরেখা অর্থাৎ, 3x−4y+k=03x - 4y + k = 0 ……(i)\ldots\ldots (i) রেখাটি (7,1)(7, 1) বিন্দুগামী ∴3.7−4.11+k=0\therefore 3.7-4.1 1 + k = 0 বা, 21−4+k=021-4+k=0 বা, 17+k=0\quad 17+k=0 ∴k=−17\therefore \quad k=-17 kk এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 3x−4y−17=03 x-4 y-17=0 বা, 3x−4y=173 x-4 y=17 …...(ii)\ldots... (ii) ধরি, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 …...(iii)\ldots... (iii) যার কেন্দ্র (−g,−f)(-\mathrm{g},-f), যা (i)নং রেখার উপর অবস্থিত। ∴−3g+4f=17\therefore \quad-3 g+4 f=17 ……(iv)\ldots\ldots (iv) আবার, (iii)নং বৃত্ত (7,1)(7,1) বিন্দুগামী. 49+1+14g+2f+c=049+1+14 g+2 f+c=0 বা, 14 g+2f+c=−5014 \mathrm{~g}+2 f+\mathrm{c}=-50 …..(v)\ldots.. (v) এবং (iii)নং বৃত্ত (6,2)(6,2) বিন্দুগামী, 36+4+12g+4f+c=036+4+12 g+4 f+c=0 বা, 12 g+4f+c=−4012 \mathrm{~g}+4 f+\mathrm{c}=-40
……(vi)(iv)\ldots\ldots (vi) (iv)
নং এবং 3×3 \times (vii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, −3 g+4f=17-3 \mathrm{~g}+4 f =17 3 g−3f=−15‾\underline{ 3 \mathrm{~g}-3 f =-15} f=2f =2 ff এর মান (vii)নং এ বসিয়ে পাই, g−2=−5g-2=-5 বा, g=−5+2=−3g=-5+2=-3 ∴g=−3\therefore \quad g=-3 gg ও ff এর মান (v) এ বসিয়ে পাই, 14(−3)+2×2+c=−5014(-3)+2 \times 2+c=-50 বा, −42+4+c=−50-42+4+c=-50 বा, −38+c=−50-38+c=-50 বा, c=−50+38c=-50+38 ∴c=−12\therefore \quad c=-12 এখন, g,f\mathrm{g}, f ও এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6 x+4 y-12=0 ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উত্তর

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0……...(i)x^ 2 + y^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 \ldots\ldots...(i) যেহেতু বৃত্তটি xx ও yy উভয় অক্ষকে যথাক্রমে (−1,0)(-1,0) ও (0,−1)(0, - 1) বিন্দুতে স্পর্শ করে তাই এর কেন্দ্র (−g,−1)=(−1,−1)(-g,-1) = (-1,-1) হবে। ∴g=1\therefore g = 1 এবং f=1f = 1 আবার, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করলে c=g2=f2=1c = g^ 2 = f^ 2 = 1 g,f\mathrm{g}, f ও c এর মান (i) নং এ বসাই, x2+2×1×x+2×1×y+1=0x^2+2 \times 1 \times x+2 \times 1 \times y+1=0 বা, x2+y2+2x+2y+1=0x^2+y^2+2 x+2 y+1=0 যেহেতু, বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(−1,−1)(-\mathrm{g},-f)=(-1,-1) ∴\therefore ব্যাসার্ধ r=g2+f2−c=12+12−1=1\mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-\mathrm{c}}=\sqrt{1^2+1^2-1}=1 বৃত্তটির স্পর্শক x+y+4=0x+y+4=0 রেখার সমান্তরাল। তাহলে, বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ, x+y+k=0x+y+k=0…..(ii)\ldots.. (ii) আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ ∴∣−1−1+k12+12∣=1\therefore\left|\frac{-1-1+k}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|=1 বা, ∣−2+k2∣=1\left|\frac{-2+k}{\sqrt{2}}\right|=1 বা, ∣(k−2)2∣=1\left|\frac{(k-2)}{\sqrt{2}}\right|=1 বা, k−2=±2k-2= \pm \sqrt{2} ∴k=2±2\therefore \quad k=2 \pm \sqrt{2} kk এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x+y+2±2=0x+y+2 \pm \sqrt{2}=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ x+y+2±2=0x+y+2 \pm \sqrt{2}=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন