Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দুইটি সরলরেখা [গণিত] বিন্দুগামী এবং [গণিত] রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তারা একে অপরের উপর লম্ব।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] প্রদত্ত সরলরেখা, [গণিত] . (i) [গণিত] রেখাটির ঢাল [গণিত] বা, [গণিত] বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, [গণিত] (ii) যেখানে, ঢাল =m (ii) নং রেখাটি (i) নং রেখার সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (+) চিহ্ন নিয়ে [গণিত] বা, [গণিত] (-) চিহ্ন নিয়ে, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) নং এ m এর মান বসিয়ে পাই, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] হলে [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] আবার, (iii) নং হতে পাই, [গণিত] রেখাটির ঢাল, [গণিত] (iv) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] রেখাটির ঢাল, [গণিত] ঢালদ্বয়ের গুণফল [গণিত] রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

দুইটি সরলরেখা বিন্দুগামী এবং রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে। সরলরে…

উদ্দীপক

p=3x−y+7, s=x2+y2−10x+20\mathrm{p}=3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+7, \mathrm{~s}=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-10 \mathrm{x}+20

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রেখা lx+my=1l x+m y=1 এখানে, বৃত্তের সমীকরণ x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তের কেন্দ্র (a,0)(a, 0) এবং ব্যাসার্ধ =(−a)2=a2=a=\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=a lx+my=1l x+m y=1 রেখাটি x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র (a,0)(a, 0) হতে lx+my=1l x+m y=1 রেখার লম্ব দূরত্ব x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়। ∣l.a+m⋅0−1∣l2+m2=±a\frac{|l . \mathrm{a}+\mathrm{m} \cdot 0-1|}{\sqrt{l^2+\mathrm{m}^2}}= \pm \mathrm{a} বা, ∣la−1∣l2+m2=±a\frac{|l \mathrm{a}-1|}{\sqrt{l^2+\mathrm{m}^2}}= \pm \mathrm{a} বা, (la∗−1)2l2+m2=a2\frac{\left(l \mathrm{a}^*-1\right)^2}{l^2+\mathrm{m}^2}=\mathrm{a}^2 বা, a2(l2+m2)=l2a2−2al+1\mathrm{a}^2\left(l^2+\mathrm{m}^2\right)=l^2 \mathrm{a}^2-2 a l+1 বা, a2l2+a2m2=l2a2−2al+1a^2 l^2+a^2 m^2=l^2 a^2-2 a l+1 বা, a2 m2+2al=1\mathrm{a}^2 \mathrm{~m}^2+2 \mathrm{a} l=1 ∴lx+my=1\therefore l x+m y=1 রেখাটি x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি a2 m2+2al=1\mathrm{a}^2 \mathrm{~m}^2+2 \mathrm{a} l=1 रड़ । (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, p=3x−y+7p=3 x-y+7 এবং p=0p=0 প্রদত্ত সরলরেখা, 3x−y+7=03 x-y+7=0 ….(i)\ldots. (i) ∴\therefore রেখাটির ঢাল =3=3 বা, (−1,2)(-1,2) বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, y−2=m(x+1)y-2=m(x+1) ……(ii)\ldots\ldots (ii) যেখানে, ঢাল =m (ii) নং রেখাটি (i) নং রেখার সাথে 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। tan⁡45∘=±m−31+3m\tan 45^{\circ}= \pm \frac{m-3}{1+3 m} বা, 1=±m−31+3m1= \pm \frac{m-3}{1+3 m} বা, 1+3 m=±(m−3)1+3 \mathrm{~m}= \pm(\mathrm{m}-3) (+) চিহ্ন নিয়ে 1+3m=m−31+3 m=m-3 বা, 2m=−42 m=-4 ∴m=−2\therefore m=-2 (-) চিহ্ন নিয়ে, 1+3m=−m+31+3 m=-m+3 বা, 4m=24 m=2 ∴m=12\therefore m=\frac{1}{2} (ii) নং এ m এর মান বসিয়ে পাই, m=−2m=-2 হলে, y−2=−2(x+1)y-2=-2(x+1) বা, y−2=−2x−2y-2=-2 x-2 ∴2x+y=0…(iii)\therefore 2 x+y=0 \ldots (iii) m=12m=\frac{1}{2} হলে y−2=12(x+1)y-2=\frac{1}{2}(x+1) বা, 2y−4=x+12 y-4=x+1 ∴x−2y+5=0…..(iv)\therefore \quad x-2 y+5=0 \ldots.. (iv) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয় 2x+y=02 x+y=0 এবং x−2y+5=0x-2 y+5=0 আবার, (iii) নং হতে পাই, y=−2xy=-2 x ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m1=−2m_1=-2 (iv) নং হতে পাই, 2y=x+52 y=x+5 বা, y=12x+52y=\frac{1}{2} x+\frac{5}{2} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m2=12\mathrm{m}_2=\frac{1}{2} ঢালদ্বয়ের গুণফল =m1m2=−2×12=−1=m_1 m_2=-2 \times \frac{1}{2}=-1 ∴\therefore রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, s=x2+y2−10x+20s=x^2+y^2-10 x+20 এবং s=0s=0 বা, x2+y2−10x+20=0x^2+y^2-10 x+20=0 বৃত্তের কেন্দ্র (5,0)(5,0) এবং ব্যাসার, r=g2+f2−c=52+02−20=5\mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}}=\sqrt{5^2+0^2-20}=\sqrt{5} এখন, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y=mxy=m x বা, mx−y=0m x-y=0
…..(ii)(ii)\ldots.. (ii) (ii)
নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার ওপর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তটির ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ ∣5m−0m2+1∣=5\left|\frac{5 m-0}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5} বা, (5 m)2 m2+1=5\frac{(5 \mathrm{~m})^2}{\mathrm{~m}^2+1}=5 [বর্গ করে] বা, 25 m2=5 m2+525 \mathrm{~m}^2=5 \mathrm{~m}^2+5 বা, 20 m2=520 \mathrm{~m}^2=5 বা, m2=14\mathrm{m}^2=\frac{1}{4} ∴m=±12\therefore \quad \mathrm{m}= \pm \frac{1}{2} mm এর মান (ii) এ বসাই, ±12x−y=0\pm \frac{1}{2} x-y=0 বা, ±x−2y=0\pm x-2 y=0 (+) চিহ্ন নিয়ে : x−2y=0x-2 y=0 (−)(-) চিহ্ন নিয়ে : −x−2y=0-x-2 y=0 বা, x+2y=0x+2 y=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয় : x−2y=0x-2 y=0 এবং x+2y=0x+2 y=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তকুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন