Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্প-১ এর রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে।

উত্তর: প্রদত্ত রেখা তিনটি [গণিত] x = 0 [গণিত] . (i) [গণিত] y = 0 [গণিত] (ii) [গণিত] x = 10 [গণিত] .. (iii) [চিত্র] মনে করি, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] (iv) (iv) নং বৃত্তটি (i), (ii) ও (iii) নং রেখাকে স্পর্শ করে। [গণিত] ... (v) [গণিত] .. (vi) এবং [গণিত] বা, [গণিত] .. (vii) (vii) নং হতে (v) নং বিয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, বৃত্তটি [গণিত] বা [গণিত] -অক্ষকে স্পর্শ করলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তটি [গণিত] বা [গণিত] -অক্ষকে স্পর্শ করলে, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্প-১ এর রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x=0,y=0x = 0, y = 0 এবং x=10x = 10 তিনটি সরলরেখার সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: question image

ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা · 2025

উত্তর

এখানে, r−2cos⁡θ+4sin⁡θ=0r-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0} বা, r2−2rcos⁡θ+4rsin⁡θ=0r^{2}-2 r \cos \theta+4 r \sin \theta=0 [উভয় পক্ষকে rr দ্বারা গুগ করে] বা, x2+y2−2x+4y=0x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0 ………(1)\ldots\ldots\ldots (1) [∵x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ[\because x=r \cos \theta, y=r \sin \theta এবং x2+y2=r2]x^{2}+y^{2}=r^{2}] (1) নং কে x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, 2 g=−22 \mathrm{~g}=-2 বা, g=−1\mathrm{g}=-1 2f=42 f=4 বা, f=2f=2 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(1,−2)(-\mathrm{g},-f)=(1,-2) নির্ণেয় বৃত্তটির কেন্দ্র (1,−2)(1,-2).

উত্তর

প্রদত্ত রেখা তিনটি \quad x = 0 ……….(i)\ldots\ldots\ldots. (i) \quad y = 0 ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) \quad x = 10 ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) question image মনে করি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0
………(iv)(iv)\ldots\ldots\ldots (iv) (iv)
নং বৃত্তটি (i), (ii) ও (iii) নং রেখাকে স্পর্শ করে। y2+2fy+c=0y^{2}+2 f y+c=0 ……...(v)\ldots\ldots... (v) x2+2gx+c=0\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{gx}+\mathrm{c}=0 ……..(vi)\ldots\ldots.. (vi) এবং 102+y2+2 g⋅10+2fy+c=010^{2}+y^{2}+2 \mathrm{~g} \cdot 10+2 \mathrm{fy}+\mathrm{c}=0 বা, 100+y2+20g+2fy+c=0100+y^{2}+20 g+2 f y+c=0
……..(vii)(vii)\ldots\ldots.. (vii) (vii)
নং হতে (v) নং বিয়োগ করে পাই, 100+20 g=0100+20 \mathrm{~g}=0 বা, 20 g=−10020 \mathrm{~g}=-100 ∴g=−5\therefore \mathrm{g}=-5 আবার, বৃত্তটি y=0y=0 বা xx-অক্ষকে স্পর্শ করলে, g2=c\mathrm{g}^{2}=\mathrm{c} বা, (−5)2=c(-5)^{2}=c বা, 25=c25=\mathrm{c} ∴c=25\therefore \quad \mathrm{c}=25 বৃত্তটি x=0x=0 বা yy-অক্ষকে স্পর্শ করলে, f2=cf^{2}=\mathrm{c} বা, f2=25f^{2}=25 ∴f=±5\therefore f= \pm 5 এখন, g,f,c\mathrm{g}, f, \mathrm{c} এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)⋅x+2⋅(±5)y+25=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) \cdot x+2 \cdot( \pm 5) y+25=0 বা, x2+y2−10x±10y+25=0x^{2}+y^{2}-10 x \pm 10 y+25=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x+10y+25=0x^{2}+y^{2}-10 x+10 y+25=0

উত্তর

এখানে, A(1,0)\mathrm{A}(1,0) এবং B(9,0)\mathrm{B}(9,0) এবং বৃত্তটি y\mathrm{y} অক্ষকে D(0,3)\mathrm{D}(0,3) বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∴CF⊥AB\therefore \mathrm{CF} \perp \mathrm{AB} তাই F,AB\mathrm{F}, \mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দু। question image ∴F≡(1+92,0+02)≡(5,0)\therefore \mathrm{F} \equiv\left(\frac{1+9}{2}, \frac{0+0}{2}\right) \equiv(5,0) বৃতটির কেন্দ্র C এর ভুজ হবে F এর xx স্থানাঙ্ক অর্থাং 5 এবং কোটি হবে D এর y স্থানাঙ্ক অর্থাৎ 3 ∴\therefore কেন্দ্র C(5,3)\mathrm{C}(5,3) ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 f \mathrm{y}+\mathrm{c}=0 ……..(1)\ldots\ldots.. (1) এখানে, g=−5,f=−3\mathrm{g}=-5, f=-3 (1) নং বৃত্তটি যেহেতু y অক্ষকে স্পর্শ করে c=f2=(−3)2=9\mathrm{c}=f^{2}=(-3)^{2}=9 g,f,c\mathrm{g}, f, \mathrm{c} এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)x+2⋅(−3)g+9=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) x+2 \cdot(-3) g+9=0 বা, x2+y−2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{-2}-10 x-6 y+9=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0. বিকল্প পদ্ধতি : এখানে, A ও B বিন্দুদ্বয়ের স্থান্ঙ্ক যথাক্রমে, (1,0)(1,0) ও (9,0)(9,0) ∴A\therefore A ও BB এর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য; AB=(9−1)2+(0−0)2=82=8\mathrm{AB}=\sqrt{(9-1)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{8^{2}}=8 একক। ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{gx}+2 f \mathrm{y}+\mathrm{c}=0 …….(1)\ldots\ldots. (1) বৃত্তটি yy-অক্ষকে স্পর্শ করে, ∴f2=c\therefore f^{2}=\mathrm{c} ……..(2)\ldots\ldots.. (2) question image আবার, (1) নং বৃত্তটি (0,3)(0,3) বিন্দুগামী, ∴0+32+2 g⋅0+2⋅f⋅3+c=0\therefore 0+3^{2}+2 \mathrm{~g} \cdot 0+2 \cdot \mathrm{f} \cdot 3+\mathrm{c}=0 বা, 9+6f+c=09+6 f+\mathrm{c}=0 বা, 9+6f+f2=0[∵c=f2]9+6 f+f^{2}=0 \quad\left[\because \mathrm{c}=f^{2}\right] বা, (f+3)2=0(f+3)^{2}=0 বা, f+3=0f+3=0 ∴f=−3\therefore f=-3 (2) নং হতে পাই, c=(−3)2=9∴c=9\mathrm{c}=(-3)^{2}=9 \quad \therefore \mathrm{c}=9 x-অক্ষের ছেদাংশ, AB=8\mathrm{AB}=8 বা, 2g2−c=82 \sqrt{\mathrm{g}^{2}-\mathrm{c}}=8 বা, g2−9=4\sqrt{\mathrm{g}^{2}-9}=4 বা, g2−9=16\mathrm{g}^{2}-9=16 [বর্গ করে] বা, g2=16+9=25\mathrm{g}^{2}=16+9=25 বা, g=±5\mathrm{g}= \pm 5 ∴g=−5[∵\therefore \mathrm{g}=-5[\because বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে] এখন, g,f,c\mathrm{g}, \mathrm{f}, \mathrm{c} এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2⋅(−5)⋅x+2⋅(−3)g+9=0x^{2}+y^{2}+2 \cdot(-5) \cdot x+2 \cdot(-3) g+9=0 বা, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−10x−6y+9=0x^{2}+y^{2}-10 x-6 y+9=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন