Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর।

উত্তর: বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

উত্তর

বৃত্তের সমীকরণ, r−2cos⁡θ+4sin⁡θ=0\mathrm{r}-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0 ⇒r2−2rcos⁡θ+4rsin⁡θ=0r\Rightarrow \mathrm{r}^{2}-2 \mathrm{r} \cos \theta+4 \mathrm{r} \sin \theta=0 \mathrm{r} ⇒x2+y2−2x+4y=0[r2=x2+y2,x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ]\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0\left[r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\right] ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র (−2−2,4−2)≡(1,−2)\left(\frac{-2}{-2}, \frac{4}{-2}\right) \equiv(1,-2)

উত্তর

চিত্র হতে, বৃত্তটি x\mathrm{x} অক্ষকে স্পশ্শ করে এবং A(1,2)\mathrm{A}(1,2) ও B(3,2)\mathrm{B}(3,2) বিন্দুগামী। ধরি, বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0…...(i)x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \ldots . . .(i) বৃত্তটি x\mathrm{x} অক্ষকে স্পর্শ করনে, g2=c..... (ii) \mathrm{g}^{2}=\mathrm{c} . . . . . \text{ (ii) } (i) নং A(1,2)\mathrm{A}(1,2) বিন্দুগামী হলে, 12+22+2⋅g⋅1+2⋅f⋅1+c=01^{2}+2^{2}+2 \cdot g \cdot 1+2 \cdot f \cdot 1+c=0 =2g+4f+c+5=0= 2 g+4 f+c+5=0 ∴2g+4f+c=−5…(iiii)\therefore 2 g+4 f+c=-5 \ldots (iiii) (i)নং B(3,2)\mathrm{B}(3,2) বিন্দুগামী হলে, 32+22+2⋅g⋅3+2⋅f⋅3+c=03^{2}+2^{2}+2 \cdot g \cdot 3+2 \cdot f \cdot 3+c=0 ⇒13+6g+4f+c=0\Rightarrow 13+6 g+4 f+c=0 6g+4f+c=−13....…(iv)6 g+4 f+c=-13 . . . . \ldots (iv) (iii)-(iv) করে, 6 g−2 g+4f−4f+c−c=−13+56 \mathrm{~g}-2 \mathrm{~g}+4 \mathrm{f}-4 \mathrm{f}+\mathrm{c}-\mathrm{c}=-13+5 =>4g=−8=>4 g=-8 ∴g=−2\therefore g=-2 (ii) হতে, g2=cg^{2} =c ⇒c=(−2)2\Rightarrow c =(-2)^{2} = 4 (iii) হতে, 2.(−2)+4f+4=−52 .(-2)+4 f+4=-5 ⇒−4+4f+4=−5\Rightarrow -4+4 f+4=-5 ⇒4f=−5\Rightarrow 4 f=-5 ∴f=−54\therefore f=-\frac{5}{4} g, f, c এর মান (i) নং এ বসিয়ে, x2+y2+2(−2)x+2⋅(−54)y+4=0x^{2}+y^{2}+2(-2) x+2 \cdot\left(-\frac{5}{4}\right) y+4=0 =4x2+4y2+(−4)⋅4x−10y+4⋅4=0= 4 x^{2}+4 y^{2}+(-4) \cdot 4 x-10 y+4 \cdot 4=0 ∴4x2+4y2−16x−10y+16=0\therefore 4 x^{2}+4 y^{2}-16 x-10 y+16=0 Ans.

উত্তর

'খ' হতে, বৃত্তের সমীকরণ, 4x2+4y2−16x−10y+16=04 x^{2}+4 y^{2}-16 x-10 y+16=0 ∴x2+y2−4x−52y+4=0\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-4 \mathrm{x}-\frac{5}{2} \mathrm{y}+4=0 ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র (−4−2,−52−2)≡(2,54)\left(\frac{-4}{-2}, \frac{-\frac{5}{2}}{-2}\right) \equiv\left(2, \frac{5}{4}\right) বৃত্তের ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c} =(−2)2+(−54)2−4[ g=−2,f=−54,c=4]=\sqrt{(-2)^{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}-4}\left[\mathrm{~g}=-2, \mathrm{f}=-\frac{5}{4}, \mathrm{c}=4\right] =54=\frac{5}{4} ধরি, মূলবিন্দু গামী অপর স্পর্শকের সমীকরণ, y=mx....y=m x . . . .. (i) ⇒mx−y=0…….. (ii) \Rightarrow \mathrm{mx}-\mathrm{y}=0 \ldots \ldots . . \text{ (ii) } কেন্দ্র থেকে (ii) নং রেখার লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ [(i) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক] ⇒∣m⋅2(+54)∣m2+(−1)2=54\Rightarrow \frac{\left|\mathrm{m} \cdot 2\left(+\frac{5}{4}\right)\right|}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{4} ⇒(2 m−54m2+1)2=(54)2\Rightarrow \left(\frac{2 \mathrm{~m}-\frac{5}{4}}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+1}}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2} ⇒(2 m)2−2⋅2 m⋅54+(54)2 m2+1=2516\Rightarrow \frac{(2 \mathrm{~m})^{2}-2 \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot \frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\mathrm{~m}^{2}+1}=\frac{25}{16} ⇒16(4m2−5m+2516)=25(m2+1)\Rightarrow 16\left(4 m^{2}-5 m+\frac{25}{16}\right)=25\left(m^{2}+1\right) ⇒64m2−80m+25−25m2−25=0\Rightarrow 64 m^{2}-80 m+25-25 m^{2}-25=0 ⇒39m2−80m=0\Rightarrow 39 m^{2}-80 m=0 ⇒m(39m−80)=0\Rightarrow \mathrm{m}(39 m-80)=0 ∴m=0,m=8039\therefore m=0, m=\frac{80}{39} M\mathrm{M} এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, y=0\mathrm{y}=0 ইহা x\mathrm{x} অক্ষকে অর্থাৎ চিত্রের xx′xx^{\prime} রেখাকে নির্দেশ করে। এবং y=8039\mathrm{y}=\frac{80}{39} ⇒80x=39y\Rightarrow 80 \mathrm{x}=39 \mathrm{y} ∴80x−39y=0\therefore 80 \mathrm{x}-39 \mathrm{y}=0 [ইহাই নির্ণেয় অপর স্পর্শকের সমীকরণ] Ans.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তরাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন