Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ABC বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] .. (i) (i)নং বৃত্তটি A [গণিত] ও [গণিত] বিন্দগ্রামী [গণিত] বা, [গণিত] .. (ii) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] .. (iii) এবং [গণিত] বা, [গণিত] .. (iv) (iii)নং হতে (ii)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, [গণিত] ... (v) আবার, (iii)নং হতে (iv)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, [গণিত] .. (vi) (v)নং ও (vi)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (ii)নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (v)নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

ABC বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

রাজশাহী কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, r2−3rsin⁡θ=4r^2-3 r \sin \theta=4 বা, x2+y2−3y=4[∵x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx^2+y^2-3 y=4\left[\because x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\right. এবং x2+y2=r2]\left.x^2+y^2=r^2\right] বা, x2+y2−3y−4=0x^2+y^2-3 y-4=0 বা, (x−0)2+(y−32)2=4+94=254=(52)2(x-0)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}=\left(\frac{5}{2}\right)^2 ∴(x−0)2+(y−32)2=(52)2\therefore \quad(x-0)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2 নির্ণেয় বৃত্তটির কেন্দ্র (0,32)\left(0, \frac{3}{2}\right) এবং ব্যাসার্ধ, r=52r=\frac{5}{2}.

উত্তর

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0
……..(i)(i)\ldots\ldots.. (i) (i)
নং বৃত্তটি A (3,0),B(7,2)(3,0), \mathrm{B}(7,2) ও C(−1,4)\mathrm{C}(-1,4) বিন্দগ্রামী ∴32+0+2 g⋅3+2f.0+c=0\therefore \quad 3^2+0+2 \mathrm{~g} \cdot 3+2 f .0+\mathrm{c}=0 বা, 9+0+6 g+0+c=09+0+6 \mathrm{~g}+0+\mathrm{c}=0 ∴9+6 g+c=0.\therefore \quad 9+6 \mathrm{~g}+\mathrm{c}=0 . …..(ii)\ldots.. (ii) আবার, 72+22+2g×7+2f×2+c=07^2+2^2+2 g \times 7+2 f \times 2+c=0 বা, 53+14 g+4f+c=053+14 \mathrm{~g}+4 f+\mathrm{c}=0 …..(iii)\ldots.. (iii) এবং (−1)2+42+2 g⋅(−1)+2f.4+c=0(-1)^2+4^2+2 \mathrm{~g} \cdot(-1)+2 f .4+\mathrm{c}=0 বা, 1+16−2g+8f+c=01+16-2 g+8 f+c=0 ∴17−2g+8f+c=0\therefore \quad 17-2 g+8 f+c=0
……..(iv)(iii)\ldots\ldots.. (iv) (iii)
নং হতে (ii)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 44+8g+4f=044+8 g+4 f=0 …...(v)\ldots... (v) আবার, (iii)নং হতে (iv)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 36+16g−4f=036+16 g-4 f=0
…..(vi)(v)\ldots.. (vi) (v)
নং ও (vi)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 80+24 g=080+24 \mathrm{~g}=0 বা, g=−8024=−103g=\frac{-80}{24}=\frac{-10}{3} ∴g=−103\therefore \quad \mathrm{g}=\frac{-10}{3} (ii)নং সমীকরণে g=−103\mathrm{g}=\frac{-10}{3} বসিয়ে পাই, 9+6(−103)+c=09+6\left(\frac{-10}{3}\right)+c=0 বা, 9−20+c=09-20+c=0 বা, −11+c=0-11+\mathrm{c}=0 ∴c=11\therefore \quad c=11 (v)নং সমীকরণে g=−103g=\frac{-10}{3} বসিয়ে পাই, 44+8(−103)+4f=044+8\left(\frac{-10}{3}\right)+4 f=0 বা, 11−203+f=011-\frac{20}{3}+f=0 বা, 133+f=0\frac{13}{3}+f=0 ∴f=−133\therefore \quad f=\frac{-13}{3} এখন, g,f,c\mathrm{g}, f, \mathrm{c} এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x2+y2+2(−103)x+2⋅(−133)y+11=0x^2+y^2+2\left(\frac{-10}{3}\right) x+2 \cdot\left(\frac{-13}{3}\right) y+11=0 বা, 3x2+3y2−20x−26y+33=03 x^2+3 y^2-20 x-26 y+33=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, 3x2+3y2−20x−26y+33=03 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{y}^2-20 \mathrm{x}-26 \mathrm{y}+33=0.

উত্তর

question image ধরি, OT স্পর্শকের সমীকরণ, y=mxy=m x বা, mx−y=0m x-y=0 …...(i)\ldots... (i) এখানে, বৃত্তের কেন্দ্র (4,−2)(4,-2) ∴\therefore বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের কোটি =∣−2∣=2=|-2|=2 [ ∵\because বৃত্তটি xx-অক্ষকে স্পর্শ করে] ∴\therefore কেন্দ্র (4,−2)(4,-2) হতে (i)নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধ বা, ∣m.4−(−2)m2+(−1)2∣=2\left|\frac{m .4-(-2)}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=2 বা, ∣4m+2m2+1∣=2\left|\frac{4 m+2}{\sqrt{m^2+1}}\right|=2 বা, ∣2(2m+1)m2+1∣=2\left|\frac{2(2 m+1)}{\sqrt{m^2+1}}\right|=2 বা, 4(2m+1)2m2+1=4\frac{4(2 m+1)^2}{m^2+1}=4 [বর্গ করে] বা, (2m+1)2=m2+1(2 m+1)^2=m^2+1 বা, 4m2+4m+1=m2+14 m^2+4 m+1=m^2+1 বা, 3m2+4m=03 m^2+4 m=0 বা, m(3m+4)=0m(3 m+4)=0 হয়, m=0\mathrm{m}=0 অথবা, 3 m+4=03 \mathrm{~m}+4=0 বা, 3 m=−43 \mathrm{~m}=-4 ∴ m=−43\therefore \quad \mathrm{~m}=-\frac{4}{3} কিন্তু m≠0m \neq 0, কেননা m=0m=0 হলে (i)নং রেখাটি x-অক্ষকে নির্দেশ করে। ∴m=−43\therefore \quad m=-\frac{4}{3} (i)নং সমীকরণে m=−43m=-\frac{4}{3} বসিয়ে পাই, −43x−y=0-\frac{4}{3} x-y=0 বা, −4x−3y=0-4 x-3 y=0 ∴4x+3y=0\therefore 4 x+3 y=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ 4x+3y=04 x+3 y=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তরাজশাহী কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন