প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যেখানে, [গণিত]
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] [১ম সারি সাপেক্ষে বিস্তার করে] [গণিত] যেখানে [গণিত] (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, , যেখানে,
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ 5 & 2 & -3\end{array}\]\right],
D=8\left|\[\begin{array}{ccc}\frac{p-q-r}{2} & p & p \q & \frac{q-r-p}{2} & q \r & r & \frac{r-p-q}{2}\end{array}\]\right|
ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ, কুমিল্লা · 2025
উত্তর
\left[\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & -\mathrm{k}\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, \left[\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -1 & -\mathrm{k}\end{array}\]\right] = 0
\left|\[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -1 & -k \end{array}\]\right|=0
বা,
নির্ণেয় মান : .
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ 5 & 2 & -3\end{array}\]\right]
\therefore \quad|\mathrm{A}| =\left|\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\3 & 1 & -4 \\5 & 2 & -3\end{array}\]\right|
বিদ্যামান।
A_{11}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 2 & -3 \end{array}\]\right|
A_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr} 3 & -4 \\ 5 & -3 \end{array}\]\right|
A_{13}=\left|\[\begin{array}{lr} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}\]\right|
A_{21}=-\left|\[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}\]\right|
A_{22}=\left|\[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 5 & -3 \end{array}\]\right|
A_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 5 & 2 \end{array}\]\right|
A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -4 \end{array}\]\right|
A_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{array}\]\right|
A_{33}=\left|\[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{array}\]\right|
\operatorname{Adj} A=\left[\[\begin{array}{lll} A_{11} & A_{12} & A_{13} \A_{21} & A_{22} & A_{23} \A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}\]\right]^{T}
=\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -11 & 1 \\ -1 & -11 & -9 \\ 3 & 11 & 5 \end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & 3 \\ -11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{array}\]\right]
A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{22}\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & 3 \\ -11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{array}\]\right]
নির্ণেয় \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{22}\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & 3 \\ -11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{array}\]\right]
উত্তর
দেওয়া আছে,
এখন, D=8\left|\[\begin{array}{ccc}\frac{p-q-r}{2} & p & p \q & \frac{q-r-p}{2} & q \r & r & \frac{r-p-q}{2}\end{array}\]\right|
=8.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \left|\[\begin{array}{ccc}p-q-r & 2 p & 2 p \\ 2 q & q-r-p & 2 q \\ 2 r & 2 r & r-p-q\end{array}\]\right|
=8.\frac{1}{8}\left|\[\begin{array}{ccc}p+q+r & p+q+r & p+q+r \\ 2 q & q-r-p & 2 q \\ 2 r & 2 r & r-p-q\end{array}\]\right| x_{1}^{\prime}=r_{1}+r_{2}+r_{3}
=(p+q+r)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 q & q-r-p & 2 q \\ 2 r & 2 r & r-p-q\end{array}\]\right|
=(p+q+r)\[\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\p+q+r & -(p+q+r) & 2q\\ 0 & p+q+r & r-p-a \end{vmatrix}\]\[\begin{matrix} c_{1}^{\prime}=c_{1}-c_{2}\c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{3} \end{matrix}\]
=(p+q+r)^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}p+q+r & -(p+q+r) \\ 0 & p+q+r \end{array}\]\right|
[১ম সারি সাপেক্ষে বিস্তার করে]
যেখানে
(প্রমাণিত)