প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: প্রমান কর যে, [গণিত] (Proved)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
\begin{aligned} & P=\left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5\end{aligned}\right), \\ & U=\left(\[\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2 a^3+1 & 2 b^3+1 & 2 c^3+1 \a^2 & b^2 & c^2\end{array}\]\right)\end{aligned}
\end{array}\end{array}
চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃকলেজ · 2025
উত্তর
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের পার্থক্য :
উত্তর
দেওয়া আছে,
p=\left(\[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\1 & -1 & 6 \\1 & 2 & -5\end{array}\]\right)
p^2=p \cdot p=\left(\[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\1 & -1 & 6 \\1 & 2 & -5\end{array}\]\right)\left(\[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\1 & -1 & 6 \\1 & 2 & -5\end{array}\]\right)
=\left(\[\begin{array}{ccc}1+5+3 & 5-5+6 & 3+30-15 \\1-1+6 & 5+1+12 & 3-6-30 \\1+2-5 & 5-2-10 & 3+12+25\end{array}\]\right)
=\left(\[\begin{array}{ccc}9 & 6 & 18 \\6 & 18 & -33 \\-2 & -7 & 40\end{array}\]\right)
\therefore f(p)=P^2-3 P=\left(\[\begin{array}{ccc}9 & 6 & 18 \\6 & 18 & -33 \\-2 & -7 & 40\end{array}\]\right)-3\left(\[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\1 & -1 & 6 \\1 & 2 & -5\end{array}\]\right)
=\left(\[\begin{array}{ccc}9-3 & 6-15 & 18-9 \\6-3 & 18+3 & -33-18 \\-2-3 & -7-6 & 40+15\end{array}\]\right)
=\left(\[\begin{array}{ccc}6 & -9 & 9 \\3 & 21 & -51 \\-5 & -13 & 55\end{array}\]\right)
\therefore f(p)=\left(\[\begin{array}{ccc}6 & -9 & 9 \\3 & 21 & -51 \\-5 & -13 & 55\end{array}\]\right)
উত্তর
প্রমান কর যে,
U=\left|\[\begin{array}{ccc}a & b & c \\2 a^3+1 & 2 b^3+1 & 2 c^3+1 \a^2 & b^2 & c^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}a & b & c \\2 a^3 & 2 b^3 & 2 c^3 \a^2 & b^2 & c^2\end{array}\]\right|+\left|\[\begin{array}{ccc}a & b & c \\1 & 1 & 1 \a^2 & b^2 & c^2\end{array}\]\right|
=2 a b c\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \a^2 & b^2 & c^2 \a & b & c\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \mathrm{a} & \mathrm{b} & c \a^2 & b^2 & c^2\end{array}\]\right|
=2 a b c\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \a^2 & b^2 & c^2 \a & b & c\end{array}\]\right|+\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \a^2 & b^2 & c^2 \a & b & c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \a^2 & b^2 & c^2 \a & b & c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)\left|\[\begin{array}{ccc}1-1 & 1-1 & 1 \a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \a-b & b-c & c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \a^2-b^2 & b^2 c^2 & c^2 \a-b & b-c & c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)\left|\[\begin{array}{ll}a^2-b^2 & b^2-c^2 \a-b & b-c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)\left|\[\begin{array}{ll}(a+b)(a-b) & (b+c)(b-c) \a-b & b-c\end{array}\]\right|
=(2 a b c+1)(a-b)(b-c)\left|\[\begin{array}{ll}a+b & b+c \\1 & 1\end{array}\]\right|
(Proved)