[গণিত] থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই, [গণিত] এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর।
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]
এবং C=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right]
সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025
উত্তর
ধরি, A=\left[\[\begin{array}{rr} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\]\right]
A উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স হলে, হবে
\therefore A A^T =\left[\[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}
=\left[\[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rc}\cos^2 \theta+\sin^2 \theta & -\sin \theta \cdot \cos \theta+\sin \theta \cdot \cos \theta \\ -\sin \theta \cdot \cos \theta+\sin \cos \theta & \sin^2 \theta+\cos^2 \theta\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]=1
যেহেতু
সুতরাং, A উল্লম্ব ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে,
এবং A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\]\right]
A নির্ণয়যোগ্য।
Adj A=\left[\[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \A_{21} & A_{22} & A_{23} \A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\]\right]^T
A এর সহগুণকসমূহ:
A_{11}=\left|\[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ -4 & 1\end{array}\]\right|
A_{12}=-\left|\[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|
A_{13}=\left|\[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 1 & -4\end{array}\]\right|
A_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll}-1 & 1 \\ -4 & 1\end{array}\]\right|
A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|
A_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 1 & -4\end{array}\]\right|
A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 0 & -2\end{array}\]\right|
A_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 3 & -2\end{array}\]\right|
A_{33}=\left|\[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\]\right|
\therefore A d j A=\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & -5 & -12 \\ -3 & 1 & 7 \\ 2 & 7 & 3\end{array}\]\right]^T
=\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3\end{array}\]\right]
এখানে, Adj
অর্থাৎ, \mathrm{B}=\frac{1}{-23}\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3\end{array}\]\right]=\frac{1}{23}\left[\[\begin{array}{rrr}8 & 3 & -2 \\ 5 & -1 & -7 \\ 12 & -7 & -3\end{array}\]\right]
নির্ণেয় B=\frac{1}{23}\left[\[\begin{array}{rrr}8 & 3 & -2 \\ 5 & -1 & -7 \\ 12 & -7 & -3\end{array}\]\right]
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right], C=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right]
এখন,
বা, \left[\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right]
বা, \left[\[\begin{array}{c}2 x-y+z \\ 3 x+0 y-2 z \x-4 y+z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right]
ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই,
এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক
D =\left|\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\]\right|
এখন, D_x =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & -4 & 1\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_y=\left|\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_z=\left|\[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & 2\end{array}\]\right|
এবং