দৃশ্যকল্প হতে যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] এখন, [গণিত] নির্ণয়যোগ্য। [গণিত] adj [গণিত] এখানে, [গণিত] (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দৃশ্যকল্প হতে যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প: A=\left[\[\begin{array}{ccc}1+x^{2}-y^{2} & 2 x y & -2 y \\ 2 x y & 1-x^{2}+y^{2} & 2 x \\ 2 y & -2 x & 1-x^{2}-y^{2}\end{array}\]\right]
নটরডেম কলেজ · 2024
উত্তর
ম্যাট্রিক্স (Matrix)
নির্ণয়ক (Determinat)
i. যখন কোনো সংখ্যা, রাশি, পরামিতি বা চলকসমূহকে শ্রেণিবদ্ধভাবে আয়তাকার ও বর্গাকারে সাজানো যায় তাকে ম্যাট্রিক্স বলে।
i. যে নিয়ম দ্বারা প্রত্যেকটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি সংখ্যা বা মান পাওয়া যায় তাকে নির্ণায়ক বলে।
ii. ম্যাট্রিক্সকে তৃতীয় বন্ধনী [ ] অথবা প্রথম বন্ধনী ( ) অথবা দুই জোড়া উলম্ব রেখা || | এর সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
ii. নির্ণায়ককে কেবলমাত্র দুইটি উলম্ব রেখার সাহায্যে প্রকাশ করা হয়।
iii. ম্যাট্রিক্স এর কোনো মান নেই।
iii. নির্ণায়ক এর সুনির্দষ্ট মান আছে।
iv. ম্যাট্রিক্সকে কোনো স্কেলার (k) দ্বারা গুণ করলে তার সকল ভুব্তিকেই ঐ স্কেলার (k) দ্বারা গুণ করা বুঝায়।
iv. নির্ণায়ককে কোনো স্কেলার (k) দ্বারা গুণ করলে তার যে কোনো একটি সারি বা কলামের সকল ভুক্সিকে ঐ স্কেলার (k) দ্বারা গুণ করা বুঝায়।
উত্তর
দেওয়া আছে,
P=\left[\[\begin{array}{ccc} 1+x^2-y^2 & 2 x y & 2 y \\ 2 x y & 1-x^2+y^2 & -2 x \\ -2 y & 2 x & 1-x^2-y^2 \end{array}\]\right]
এবং
\operatorname{det}(P)=\left|\[\begin{array}{ccc}1+x^2-y^2 & 2 x y & 2 y \\ 2 x y & 1-x^2+y^2 & -2 x \\ -2 y, & 2 x & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}1+x^2+y^2 & 0 & 2 y \\ 0 & 1+x^2+y^2 & -2 x \\ -y\left(1+x^2+y^2\right) & x\left(1+x^2+y^2\right) & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right|
এবং
=\left(1+x^2+y^2\right)^2\left|\[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 y \\ 0 & 1 & -2 x \\ -y & x & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right|
প্রশ্নমতে,
বা, (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}1+x^{2}-y^{2} & 2 x y & -2 y \\ 2 x y & 1-x^{2}+y^{2} & 2 x \\ 2 y & -2 x & 1-x^{2}-y^{2}\end{array}\]\right]
হলে,
A=\left[\[\begin{array}{ccc} 1+2^{2}-2^{2} & 2.2 .2 & -2.2 \\ 2.2 .2 & 1-2^{2}+2^{2} & 2.2 \\ 2.2 & -2.2 & 1-2^{2}-2^{2} \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 8 & -4 \\ 8 & 1 & 4 \\ 4 & -4 & -7 \end{array}\]\right]
এখন,
নির্ণয়যোগ্য।
\therefore \operatorname{adj} A=\left[\[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{rr}1 & 4 \\ -4 & -7\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}8 & 4 \\ 4 & -7\end{array}\right| & \left|\begin{array}{rr}8 & 1 \\ 4 & -4\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{rr}8 & -4 \\ -4 & -7\end{array}\right| & \left|\begin{array}{rr}1 & -4 \\ 4 & -7\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & 8 \\ 4 & -4\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{rr}8 & -4 \\ 1 & 4\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & -4 \\ 8 & 4\end{array}\right| & \left\lvert\, \begin{array}{ll}1 & 8 \\ 8 & 1\end{array}\right.\end{array}\]\right]^t
=\left[\[\begin{array}{rrr}9 & 72 & -36 \\ 72 & 9 & 36 \\ 36 & -36 & -63\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{rrr}9 & 72 & 36 \\ 72 & 9 & -36 \\ -36 & 36 & -63\end{array}\]\right]
adj A=\frac{1}{729}\left[\[\begin{array}{rrr}9 & 72 & 36 \\ 72 & 9 & -36 \\ -36 & 36 & -63\end{array}\]\right]
এখানে, |\mathrm{A}| \mathrm{A}^{-1}=729 \cdot \frac{1}{729}\left[\[\begin{array}{rrr} 9 & 72 & 36 \\ 72 & 9 & -36 \\ -36 & 36 & -63 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}9 & 72 & 36 \\ 72 & 9 & -36 \\ -36 & 36 & -63\end{array}\]\right]=\operatorname{adj}(\mathrm{A})
(প্রমাণিত)