x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A হলে প্রমাণ কর |A| = (p+q+r)3
উত্তর: x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A নিম্নরূপ : [গণিত] (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A হলে প্রমাণ কর |A| = (p+q+r)3
উদ্দীপক
একটি সমীকরণ জোট
(p-q-r)x+2qy + 2rz = -3
2px + (q-r-p)y + 2rz = 0
2px+2qy+(r-p-q)z=3
কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ · 2024
উত্তর
দেওয়া আছে,
x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক B নিম্নরূপ :
B=\left[\[\begin{array}{ccc} p-q-r & 2 q & 2 r \\ 2 p & 2-p-p & 2 r \\ 2 p & 2 q & p-p-q \end{array}\]\right]
এখন, হলে,
B=\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right]
B^{T}=\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right]
\therefore B^{+}+B =\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 4 \\ 4 & -2 & 4 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\]\right]
উত্তর
p = q = r = 1 হলে সমীকরণগুলো নিম্নরূপ :
(i), (ii), (iii) নং সমীকরণগুলো ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করলে হয়,
এখানে,
A=\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right], =\left[\[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 3 \end{array}\]\right], x=\left[\[\begin{array}{l} x \y \z \end{array}\]\right]
det(A) =\left|\[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array}\]\right|
বের করা সম্ভব।
ম্যাট্রিক্স A এর সহগুণক গুলো নিম্নরূপ :
\therefore \operatorname{Adj}(A)=\left[\[\begin{array}{ccc} -3 & 6 & 6 \\ 6 & -3 & 6 \\ 6 & 6 & -3 \end{array}\]\right]^{\top}=\left[\[\begin{array}{ccc} -3 & 6 & 6 \\ 6 & -3 & 6 \\ 6 & 6 & -3 \end{array}\]\right]
\therefore A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot \operatorname{Adj}(A)=\frac{1}{27}\left[\[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & 6 \\ 6 & -3 & 6 \\ 6 & 6 & -3\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{2}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{2}{9} \\ 2 / 9 & 2 / 9 & -\frac{1}{9}\end{array}\]\right]
এখন,
\Rightarrow x =\left[\[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} \\ 2/9 & -1 / 9 & 2 / 9 \\ 2 / 9 & 2 / 9 & -\frac{1}{9} \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 3 \end{array}\]\right]
\Rightarrow x=\left[\[\begin{array}{c} \frac{1}{3}+0+\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3}+0+\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3}+0-\frac{1}{3} \end{array}\]\right]
\Rightarrow\left[\[\begin{array}{l} x \y \z \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\]\right]
উত্তর
x, y, z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স A নিম্নরূপ :
A=\left[\[\begin{array}{ccc}p-q-r & 2 q & 2 r \\ 2 p & q-p-p & 2 r \\ 2 p & 2 q & p-p-q\end{array}\]\right]
|A|=\left|\[\begin{array}{ccc}p-q-r & 2 q & 2 r \\ 2 p & 2-p-p & 2 r \\ 2 p & 22 & p-p-q\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}p-q-r+2 q+2 r & 2 q & 2 r \\ 2 p+q-r-p+2 r & q-p-p & 2 r \\ 2 p+2 q+r-p-q & 2 q & r-p-q\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}p+q+r & 2 q & 2 r \p+q+r & q-p-p & 2 r \p+q+r & 2 q & p-p-q\end{array}\]\right|
=(p+q+p)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 q & 2 p \\ 1 & q-p-p & 2 r \\ 1 & 2 q & p-p-q\end{array}\]\right|
=(p+q+r) \left|\[\begin{array}{ccc}1-1 & 2 q-q+p+r & 2 p-2 p \\ 1-1 & q-p-p-2 q & 2 p-p+p+q \\ 1 & 2 q & p-p-q\end{array}\]\right|
\left[\[\begin{array}{l}r_1^{\prime}=r_1-r_2 \r_2^{\prime}=r_2-r_3\end{array}\]\right]
=(p+q+r)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & p+q+r & 0 \\ 0 & -(p+q+r) & p+q+r \\ 1 & 2 q & r-p-q\end{array}\]\right|
=(p+q+r)(p+q+r)(p+q+r)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 22 & p-p q\end{array}\]\right|
(প্রমাণিত)