Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] apqr [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

\mathrm{P}=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right], \mathrm{Q}=\left[\[\begin{array}{ccc}a p^{3}-\mathrm{m}^{3} & a q^{3}-\mathrm{m}^{3} & \mathrm{ar}^{3}-\mathrm{m}^{3} \\ \mathrm{p}^{2} & \mathrm{q}^{2} & \mathrm{r}^{2} \\ \mathrm{p} & \mathrm{q} & \mathrm{r}\end{array}\]\right]

ঢাকা কলেজ · 2024

উত্তর

আমরা জানি, কোনো ম্যাট্রিক্সের মূখ্য কর্ণ বরাবর ভুক্তিগুলো 0 এবং অন্যান্য যেকোনো ভুক্তির ক্ষেত্রে aij=−aji\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=-\mathrm{a}_{\mathrm{ji}} হলে তা বক্রপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স। \mathrm{R}=\left[\[\begin{array}{rrr}0 & 3 & \mathrm{x} \\ -3 & \mathrm{y} & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সটি বক্রপ্রতিসম বলে, y=0\mathrm{y}=0 [∵[\because মূখ্য কর্ণের ভুক্তিগুলো 0] প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সে a31=2\mathrm{a}_{31}=2 ∴a13=x=−a31=−2\therefore a_{13}=x=-a_{31}=-2 ∴\therefore নির্ণেয় মান: x=−2,y=0\mathrm{x}=-2, \mathrm{y}=0 (Ans.)

উত্তর

|\mathrm{P}|=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right|=1(-0+1)-2(0+2)+1(3+6) =1−4+9=6≠0=1-4+9=6 \neq 0 ∴P−1\therefore \mathrm{P}^{-1} নির্ণয়যোগ্য। \therefore \operatorname{adj} P=\left[\[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}3 & -3 \\ 2 & 1\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -3\end{array}\right|\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & -9\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 4 \\ 9 & 3 & -9\end{array}\]\right] ∴P−1=1∣P∣\therefore \mathrm{P}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{P}|} adj \mathrm{P}=\frac{1}{6}\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 4 \\ 9 & 3 & -9\end{array}\]\right] (Ans.)

উত্তর

বামপক্ষ =∣Q∣=|\mathrm{Q}| =\left|\[\begin{array}{ccc}a p^{3}-m^{3} & a q^{3}-m^{3} & a r^{3}-m^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}a p^{3} & a q^{3} & a r^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc}m^{3} & m^{3} & m^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right| =\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right|-m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right| =-\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p^{2} & q^{2} & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right| =\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p & q & r \\ 1 & 1 & 1 \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right| =-\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right| =\left(-\operatorname{apqr}+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right| =\left(-a p q r+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \p-q & q-r & r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{l}c_{1}^{\prime}=c_{1}-c_{2} \c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{3}\end{array}\]\right] =\left(-a p q r+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{cc}p-q & q-r \\ (p+q)(p-q) & (q+r)(q-r)\end{array}\]\right| =\left(-a p q r+m^{3}\right)(p-q)(q-r)\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \p+q & q+r\end{array}\]\right| =(−=\left(-\right. apqr +m3)(p−q)(q−r)(q+r−p−q)\left.+m^{3}\right)(p-q)(q-r)(q+r-p-q) =(−apqr+m3)(p−q)(q−r)(r−p)=\left(-a p q r+m^{3}\right)(p-q)(q-r)(r-p) =−(apqr−m3)(p−q)(q−r)(r−p)=-\left(a p q r-m^{3}\right)(p-q)(q-r)(r-p) =(apqr−m3)(p−q)(q−r)(p−r)=\left(a p q r-m^{3}\right)(p-q)(q-r)(p-r) == ডানপক্ষ ∴∣Q∣=(apqr−m3)(p−q)(q−r)(p−r)\therefore|Q|=\left(a p q r-m^{3}\right)(p-q)(q-r)(p-r) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∣a2abacab−b2bc]6pt]acbc−c2∣\begin{vmatrix} a^2& ab& ac\\[6pt] ab&-b^2 &bc\\]6pt] ac&bc& -c^2\end{vmatrix}এর মান কত?

  • ক
    a2b2c2a^2b^2c^2
  • খ
    2abc
  • গ
    4a2b2c24a^2b^2c^2
  • ঘ
    4abc

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 1\end{array}\]\right] হলে Adj⁡(A)=?\operatorname{Adj}(A)= ?

যশোর বোর্ড

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 1\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{rr}1 & -3 \\ -4 & 2\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 4 & -2\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.\left(\[\begin{array}{cc}k \sqrt{k} & 2 \\ 2 & \sqrt{k}\end{array}\]\right)একটি বাস্তব মেট্রিক্স। k এর কোন মানের জন্য মেট্রিক্সটির বিপরীত মেট্রিক্স পাওয়া যাবে না।

  • ক
    −2-2
  • খ
    22
  • গ
    ±2\pm 2
  • ঘ
    2\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x এর কোন কোন মানের জন্য (\left[

2−x13510−x\begin{array}{ll}2-x & 13 \\ 5 & 10-x\end{array}
\right]\) ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রেমী ম্যাট্রিক্স হবে?

  • ক
    -15 ও -3
  • খ
    -15 ও 3
  • গ
    15 ও -3
  • ঘ
    13 ও 5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.' a ' এর মান কত হলে ( \left|

1000a000a\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}
\right|=1\) হবে

  • ক
    11
  • খ
    ±1\pm 1
  • গ
    00
  • ঘ
    −1-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.A=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\]\right]একটি- i. বর্গ ম্যাট্রিক্স ii. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স iii. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স निচের কোনটি সঠিক?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.A=\left[\[\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 1 & 2\end{array}\]\right]ও (B=\left[

x003412−21\begin{array}{ccc}x & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 1\end{array}
\right]\) হলে, x-এর কোন মানের জন্য ∣A∣=∣B∣|A|=|B|হবে?

  • ক
    1
  • খ
    −1-1
  • গ
    0
  • ঘ
    2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (IAI = ?\)

  • ক
    II
  • খ
    AA
  • গ
    A−1\mathrm{A}^{-1}
  • ঘ
    IAIA

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.M=\left[\[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\]\right] হলে M−2I=M-2 I= কত? [I হলো একক ম্যাট্রিক্স]

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 2 & 2\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.নির্ণায়ক (\left|

101112202124101010\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 24 \\ 10 & 10 & 10\end{array}
\right|\) এর মান কত?

  • ক
    1010
  • খ
    2020
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 5 & -3\end{array}\]\right]হলে,A−1A^{-1} এর মাन কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 5 & -3\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}-3 & -1 \\ -5 & -2\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 5 & -2\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -5 & 2\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.x এর কোন মানের জন্য \left|\[\begin{array}{rr}3 & -2 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=\left|\[\begin{array}{rrr}x & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & -2 & 0\end{array}\]\right|হবে?

চট্রগ্রাম বোর্ড

  • ক
    -5
  • খ
    -1
  • গ
    1
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কত?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] একটি বাস্তব মেট্রিক্স। k এর কোন মানের জন্য মেট্রিক্সটির বিপরীত মেট্রিক্স x এর কোন কোন মানের জন্য ( [গণিত] [ [গণিত] ] ) ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রেমী ম্য' a ' এর মান কত হলে ( [গণিত] | [গণিত] |=1 ) হবে[গণিত] একটি- i. বর্গ ম্যাট্রিক্স ii. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স iii. প্রতিসম ম্যাট্র[গণিত] ও (B= [গণিত] [ [গণিত] x & 0 & 0 3 & 4 & 1 2 & -2 & 1 [গণিত] ] ) হলে, x-এরযদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (IAI = ? )[গণিত] হলে [গণিত] কত? [I হলো একক ম্যাট্রিক্স]নির্ণায়ক ( [গণিত] | [গণিত] | ) এর মান কত?[গণিত] হলে, [গণিত] এর মাन কোনটি?x এর কোন মানের জন্য [গণিত] হবে?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন