[গণিত] ও z এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক D হলে প্রমান কর যে, [গণিত]
উত্তর: [গণিত] [Proved]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
ও z এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক D হলে প্রমান কর যে,
উদ্দীপক
সমীকরণ জোট:
Sylhet · 2021
উত্তর
মনেকরি,
A=\left[\[\begin{array}{lll}x & 1 & 0 \\1 & 2 & 1 \\1 & 2 & x\end{array}\]\right]
হলেই কেবল ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রম হবে।
\therefore\left[\[\begin{array}{lll}x & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & x\end{array}\]\right]=0
উত্তর
সমীকরণণ জোটঃ
এর মান বসিয়ে পাই,
x+2 y+3 z=5
z=-5
প্রদত্ত সমীকরণগুলোর এর সহগগুচছ নিয়ে পাই,
\begin{aligned}& D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\1 & 4 & 9 \\0 & 7 & 26\end{aligned}\right] \\& |D|=1(104-63)-2(26-0)+3(7-0) \\& =41-52+21=10\end{aligned}
\end{array}
\begin{aligned} & D_x=\left[\begin{array}{ccc}5 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \\ -5 & 7 & 26\end{aligned}\right] \\ & =5(104-63)-2(130+45)+3(35+20) \\ & =205-350+165=20\end{aligned}
\end{array}
\begin{aligned} & D_y=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 0 & -5 & 26\end{aligned}\right] \\ & =1(130+45)-5(26-0)+3(-5-0) \\ & =175-130-15=30\end{aligned}
\end{array}
\begin{aligned} & D_z=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & -5\end{aligned}\right] \\ & =1(-20-35)-2(-5-0)+5(7-0) \\ & =-55+10+35 \\ & =-10\end{aligned}
\end{array}
ইহাই নির্ণেয় সমাধান।।\end{array}
উত্তর
D=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^2 & q^2 & r^2 \p^3-1 & q^3-1 & r^3-1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^2 & q^2 & r^2 \p^3 & q^3 & r^3\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^2 & q^2 & r^2 \\1 & 1 & 1\end{array}\]\right]
=(p q r)\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^2 & q^2 & r^2\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \\1 & 1 & 1 \p^2 & q^2 & r^2\end{array}\]\right]
=(p q r)\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^2 & q^2 & r^2\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^2 & q^2 & r^2\end{array}\]\right]
=(p q r-1)\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^2 & q^2 & r^2\end{array}\]\right]
=(p q r-1)\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \p-q & q-r & r \p^2-q^2 & q^2-r^2 & r^2\end{array}\]\right]
=(p q r-1)\left[\[\begin{array}{cc}p-q & q-r \\(p+q)(p-q) & (q+r)(q-r)\end{array}\]\right]
=(p q r-1)(p-q)(q-r)\left[\[\begin{array}{cc}1 & 1 \p+q & q+r\end{array}\]\right]
[Proved]