k এর কোন মানের জন্য [গণিত] ব্যতিক্রমী হবে?
উত্তর: ধরি, [গণিত] A ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি |A| = 0 হয়। [গণিত] মানের জন্য ম্যট্রিক্সটি ব্যকিত্রমী হবে।
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
k এর কোন মানের জন্য ব্যতিক্রমী হবে?
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\]\right] এবং
রংপুর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ · 2024
উত্তর
ধরি,
A=\left[\[\begin{array}{cc}k+1 & 8 \k & k+3\end{array}\]\right]
A ম্যাটিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি |A| = 0 হয়।
\therefore|A|=\left|\[\begin{array}{cc} k+1 & 8 \k & k+3 \end{array}\]\right|
মানের জন্য ম্যট্রিক্সটি ব্যকিত্রমী হবে।
উত্তর
এখানে,
A=\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\]\right]
A^{T} =\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\]\right]
= 32
A_{11}^{T}=(-1)^{1+1}\left|\[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\]\right|=(-2-2)=-4
A_{12}^{T}=(-1)^{1+2}\left|\[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\]\right|=(-1)(3-3)=0
A_{13}^{T}=(-1)^{1+3}\left|\[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 3 & 2 \end{array}\]\right|=(6+6)=12
A_{21}^{T}=(-1)^{2+1}\left|\[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\]\right|=(-1)(2-6)=4
A_{22}^{T}=(-1)^{2+2}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\]\right|=(1-9)=-8
A_{23}^{T}=(-1)^{2+3}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\]\right|=(-1)(2-6)=4
A_{31}^{T}=(-1)^{3+1}\left|\[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{array}\]\right|=(2+6)=8
A_{32}^{T}=(-1)^{3+2}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\]\right|=(-1)(1-9)=8
A_{33}^{T}=(-1)^{3+3}\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{array}\]\right|=-2-6=-8
\therefore Adj A^{\top}=\left[\[\begin{array}{ccc} -4 & 0 & 12 \\ 4 & -8 & 4 \\ 8 & 8 & -8 \end{array}\]\right]^{t}
=\left[\[\begin{array}{ccc} -4 & 4 & 8 \\ 0 & -8 & 8 \\ 12 & 4 & -8 \end{array}\]\right]
\therefore\left(A^{T}\right)^{-1}=\frac{1}{\left|A^{\top}\right|}\left[\[\begin{array}{ccc} -4 & 4 & 8 \\ 0 & -8 & 8 \\ 12 & 4 & -8 \end{array}\]\right]
=\frac{1}{32}\left[\[\begin{array}{ccc} -4 & 4 & 8 \\ 0 & -8 & 8 \\ 12 & 4 & -8 \end{array}\]\right]=\frac{1}{8}\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{array}\]\right]
(Ans)
উত্তর
দেওয়া আছে,
এখন, A=\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lrr} 1+6+9 & 3-6+3 & 3+6+3 \\ 2-4+6 & 6+4+2 & 6-4+2 \\ 3+2+3 & 9-2+1 & 9+2+1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 16 & 0 & 12 \\ 4 & 12 & 4 \\ 8 & 8 & 12 \end{array}\]\right]
\therefore A^{2}-4 A-3=\left[\[\begin{array}{ccc} 16 & 0 & 12 \\ 4 & 12 & 4 \\ 8 & 8 & 12 \end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc} 4 & 12 & 12 \\ 8 & -8 & 8 \\ 12 & 4 & 4 \end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 16-4-3 & 0-12-0 & 12-12-0 \\ 4-8-0 & 12+8-3 & 4-8+0 \\ 8-12-0 & 8-4-0 & 12-9-3 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 9 & -12 & 0 \\ -4 & 17 & -4 \\ -4 & 4 & 5 \end{array}\]\right]
Ans.