দেখাও যে, [গণিত] একটি অভেদ ঘাতি ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: [গণিত] একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দেখাও যে, একটি অভেদ ঘাতি ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর :
A=\left[\[\begin{array}{ccc} a+b+2 c & a & b \c & b+c+2 a & b \c & a & c+a+2 b \end{array}\]\right] একটি ম্যাট্রিক্স।
শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ · 2024
উত্তর
B=\left[\[\begin{array}{ccc}-5 & -8 & 0 \\3 & 5 & 0 \\1 & 2 & -1\end{array}\]\right]
\therefore B^{2}=B \cdot B=\left[\[\begin{array}{ccc} -5 & -8 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\]\right] \cdot\left[\[\begin{array}{ccc} -5 & -8 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}25-24+0 & 40-40+0 & 0+0+0 \\ -15+15+0 & -24+25+0 & 0+0+0 \\ -5+6-1 & -8+10-2 &0+0+1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
উত্তর
এখন,
2 A=2\left[\[\begin{array}{ccc}a+b+2 c & a & b \c & b+c+2 a & b \c & a & c+a+2 b\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}2 a+2 b+4 c & 2 a & 2 b \\ 2 c & 2 b+2 c+4 a & 2 b \\ 2 c & 2 a & 2 c+2 a+4 b\end{array}\]\right]
\begin{aligned} & \text{ L.H.S }=|2 A|=\left|\begin{array}{ccc}2 a+2 b+4 c & 2 a & 2 b \\ 2 c & 2 b+2 c+4 a & 2 b \\ 2 c & 2 a & 2c + 2a + 4b\end{aligned}\right| \end{aligned}
\end{array}
=2.2 .2\left|\[\begin{array}{ccc}a+b+2 c & a & 2+2 a+4 b \c & b+c+2 a & b \c & a & c+a+2 b\end{array}\]\right|
=8\left|\[\begin{array}{ccc}a+b+2 c-c & a-b-c-2 a & b-b \c-c & b+c+2a-a & b-c-a-2 b \c & a & c+a+2b\end{array}\]\right|
\[\begin{bmatrix} r_{1}^{\prime} \rightarrow r_{1}-r_{2} \r_{2}^{\prime} \rightarrow r_{2}-r_{3}\end{bmatrix}\]
=8\left|\[\begin{array}{ccc}a+b+c & -(a+b+c) & 0 \\ 0 & a+b+c & -(a+b+c \c & a & c+a+2 b \end{array}\]\right|
=8(a+b+c)(a+b+c)\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \c & a & c+a+2 b \end{array}\]\right|
(প্রমাণিত)\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে,
A=\left[\[\begin{array}{ccc} a+b+2 c & a & b \c & b+c+2 a & b \c & a & c+a+2 b \end{array}\]\right]
a = b = c = 1 হলে,
A=\left[\[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\]\right]
\therefore|A|=\left|\[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\]\right|
A ম্যাট্রিক্স এর সহগুণক গুলো নিম্নরুপ :
\therefore \text{ Adjoint of } A=\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]^{T}
=\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & -3 & -3 \\ -3 & \cdots 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]
Adjoint of A
=\frac{1}{54}\left[\[\begin{array}{ccc} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]
=\frac{3}{54}\left[\[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{array}\]\right]
\therefore A^{-1} =\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{array}\]\right] Ans.