প্রমাণ কর যে, [গণিত] যেখানে, [গণিত] একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: ধরি, [গণিত] আবার, [গণিত] যেখানে, [গণিত] একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, যেখানে, একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ · 2024
উত্তর
ধরি, \mathrm{I}_{2}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]
\therefore \mathrm{I}_{2}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{2}\right)}\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]
আবার, \mathrm{I}^{2}=\mathrm{I} \times \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right] \times\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ll}1+0 & 0+0 \\0+0 & 0+1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\]\right]
যেখানে, একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)
উত্তর
ও এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,
D=\left|\[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\]\right|
D_{\mathrm{x}}=\left|\[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 3 \\0 & 0 & 2 \\2 & 4 & -5\end{array}\]\right|
D_{\mathrm{y}}=\left|\[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 2 & -5\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_{\mathrm{z}}=\left|\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 2\end{array}\]\right|=2(0-0)-1(2-0)+4(4-0)
এবং
নির্ণেয় সমাধান, (Ans.)
উত্তর
ম্যাট্রিক্স আাকারে লিখে পাই,
\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\]\right]
বা,
যেখানে, B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং C=\left[\[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\]\right]
এখন, |B|=\left|\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right|=2(0-8)+1(6+5)+3(4-0)
বিদ্যামন।
\operatorname{adj} B=\left[\[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 4 & -5\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -5\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 4\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 4 & -5\end{array}\right| & +\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right|\end{array}\]\right]^{\mathrm{t}}
=\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & 11 & 4 \\ 17 & -19 & -5 \\ 2 & -1 & -1\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & 17 & 2 \\ 11 & -19 & -1 \\ 4 & -5 & -1\end{array}\]\right]
\therefore \mathrm{B}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~B}|} \text{ adj } \mathrm{B}=\frac{1}{7}\left[\[\begin{array}{ccc} -8 & 17 & 2 \\ 11 & -19 & -1 \\ 4 & -5 & -1 \end{array}\]\right.
(iv) নং হতে, \mathrm{X}=\frac{1}{7}\left[\[\begin{array}{ccc} -8 & 17 & 2 \\11 & -19 & -1 \\4 & -5 & -1 \end{array}\]\right] \left[\[\begin{array}{l}4 \\0 \\2\end{array}\]\right]
=\frac{1}{7}\left[\[\begin{array}{c} -32+0+4 \\44+0-2 \\16+0-2\end{array}\]\right]=\frac{1}{7}\left[\[\begin{array}{c}-28 \\42 \\14\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c}-4 \\6 \\2\end{array}\]\right]
নির্ণেয় সমাধান: (Ans.)