প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] এবং [গণিত]
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] এবং [গণিত] প্রয়োগ করে ] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, , যেখানে এবং
উদ্দীপক
L=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\]\right], M=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1 \\ 1\end{array}\]\right], N=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং A=\left|\[\begin{array}{lcc}P^{2} & a^{2} & a^{2} \b^{2} & Q^{2} & b^{2} \c^{2} & c^{2} & R^{2}\end{array}\]\right|
ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ · 2024
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right].
\therefore A^2 =A \times A=\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right] \times\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{cc}16-15 & -4+4 \\ 60-60 & -15+16\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]
যেহেতু সেহেতু একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
(যাচাই করা হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{C}=\left(\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2} & l^{2} & l^{2} \\ \mathrm{~m}^{2} & (\mathrm{n}+l)^{2} & \mathrm{~m}^{2} \\ \mathrm{n}^{2} & \mathrm{n}^{2} & (l+\mathrm{m})^{2}\end{array}\]\right)
বামপক্ষ =|\mathrm{C}|=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2 & l^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2 & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & (l+\mathrm{m})^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m})^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+)^2-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m})^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
এবং প্রয়োগ করে ]
=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) \\ \mathrm{m}^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right|
=(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & (l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) & (l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) \\ \mathrm{m}^2 & (\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right|
=(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{n} & -2 \mathrm{~m} \\ \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}+l-\mathrm{m} & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & l+\mathrm{m}-\mathrm{n}\end{array}\]\right|
=\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}}\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} \\ \mathrm{m}^2 & \mathrm{mn}+l \mathrm{~m}-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
=\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}}\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & 0 & 0 \\ \mathrm{~m}^2 & \mathrm{mn}+l \mathrm{~m} & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}\end{array}\]\right|
=\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}} \times 2 \mathrm{mn}\left|\[\begin{array}{cc}\mathrm{mn}+l \mathrm{~m} & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}\end{array}\]\right|
=2(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \cdot \mathrm{mn}\left|\[\begin{array}{cc}\mathrm{n}+l & \mathrm{~m} \\ \mathrm{n} & l+\mathrm{m}\end{array}\]\right|
ডানপক্ষ
(দেখানো হলো)
উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ জোট,
'খ' হতে পাই,
D=\left|\[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{array}\]\right|=-27
\therefore D_{x}=\left|\[\begin{array}{ccc} 6 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{array}\]\right|
\therefore D_{y}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \end{array}\]\right|
\therefore D_{2}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\]\right|
এবং
নির্ণেয় সমাধান : (Ans.)