প্রমাণ কর যে, [গণিত] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: ধরি, [গণিত] ম্যাট্রিক্রটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স হলে, [গণিত] হবে। এখন, [গণিত] যেহেতু [গণিত] সুতরাং, [গণিত] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক। (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
Sylhet · 2023
উত্তর
ধরি, P=\left[\[\begin{array}{rr}4 & 3 \\ -4 & -3\end{array}\]\right]
ম্যাট্রিক্রটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স হলে, হবে।
এখন,
=\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rr} 16-12 & 12-9 \\ -16+12 & -12+9 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right]=p
যেহেতু
সুতরাং, \mathrm{P}=\left[\[\begin{array}{rr}4 & 3 \\ -4 & -3\end{array}\]\right] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক। (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে,
বা, \left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}1 \a \a^{2}\end{array}\]\right]
বা, ; যেখানে A=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]
এবং B=\left[\[\begin{array}{l}1 \a \a^{2}\end{array}\]\right]
এখানে, এবং
এখন, \operatorname{Det}(A)=\left|\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc} p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3} & q^{3} & r^{3} \end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc} p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\]\right|
=p q r\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \end{array}\]\right|
[ পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়]
=(p q r-1)\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|
=(p q r-1)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \p-q & q-r & r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} & r^{2} \end{array}\]\right|
এবং প্রয়োগ করে]
=(p q r-1)\left|\[\begin{array}{cc} p-q & q-r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} \end{array}\]\right|
=(p q r-1)(p-q)(q-r)\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \p+q & q+r \end{array}\]\right|
এখানে,
বা,
বা,
(দেখানো হলো)
উত্তর
বি.দ্র. উদ্দীপকের বর্ণনায় l, m ও n এর কোনো তথ্য নাই, l, m ও n এর পরিবর্তে যথাক্রমে p, q ও r ধরে সমাধান করা হলো:
খ-হতে প্রাপ্ত, A=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right]
এবং হলে,
A =\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1^{2} & 2^{2} & (-1)^{2} \\ 1^{3}-1 & 2^{3}-1 & (-1)^{3}-1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1-1 & 8-1 & -1-1 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{array}\]\right]
\therefore|A| =\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{array}\] \mid\right.
এর সহগুণকসমূহ :
A_{11}=\left|\[\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 7 & -2 \end{array}\]\right|
A_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{array}\]\right|
A_{13}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}\]\right|
A_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll} 2 & -1 \\ 7 & -2 \end{array}\]\right|
A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{array}\]\right|
A_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{array}\]\right|
A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{array}\]\right|
A_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\]\right|
A_{33}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|
\therefore \operatorname{Adj} A=\left[\[\begin{array}{lll} \mathrm{A}_{11} & \mathrm{~A}_{12} & \mathrm{~A}_{13} \\ \mathrm{~A}_{21} & \mathrm{~A}_{22} & \mathrm{~A}_{23} \\ \mathrm{~A}_{31} & \mathrm{~A}_{32} & \mathrm{~A}_{33} \end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}
=\left[\[\begin{array}{rrr} -15 & 2 & 7 \\ -3 & -2 & -7 \\ 6 & -2 & 2 \end{array}\]\right]^{T}=\left[\[\begin{array}{rr} -15 & -3 \\ 2 & -2 \\ 7 & -7 \end{array}\]\right.
\left.\[\begin{array}{r} 6 \\ -2 \\ 2 \end{array}\]\right]
A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{-18}\left[\[\begin{array}{rrr} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{array}\]\right]=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & 3 & -6 \\ -2 & 2 & 2 \\ -7 & 7 & -2 \end{array}\]\right]
নির্ণেয় \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & 3 & -6 \\ -2 & 2 & 2 \\ -7 & 7 & -2 \end{array}\]\right]