বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: বামপক্ষ, [গণিত] প্রথম দুইটি কলাম একই [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
বিস্তার না করে প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
\mathrm{A}=\left(\[\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & b c \\ (c+a)^2 & b^2 & c a \\ (a+b)^2 & c^2 & a b\end{array}\]\right), B=\left(\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\]\right), C=\left(\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right), D=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\]\right)
Mymensingh · 2023
উত্তর
বামপক্ষ,
=\left|\[\begin{array}{lll}1 & b c & b c(b+c) \\ 1 & c a & c a(c+a) \\ 1 & a b & a b(a+b)\end{array}\]\right|
=\frac{1}{a b c}\left|\[\begin{array}{lll}a & a b c & a b c(b+c) \b & a b c & a b c(c+a) \c & a b c & a b c(a+b)\end{array}\]\right|
=\frac{a b c \cdot a b c}{a b c}\left|\[\begin{array}{lll}a & 1 & b+c \b & 1 & c+a \c & 1 & a+b\end{array}\]\right|
=a b c\left|\[\begin{array}{lll}a & 1 & b+c \b & 1 & c+a \c & 1 & a+b\end{array}\]\right|
=a b c\left|\[\begin{array}{lll}a+b+c & 1 & b+c \a+b+c & 1 & c+a \a+b+c & 1 & a+b\end{array}\]\right|\left[c_1^{\prime}=c_1+c_3\right]
=a b c(a+b+c)\left|\[\begin{array}{lll}1 & 1 & b+c \\ 1 & 1 & c+a \\ 1 & 1 & a+b\end{array}\]\right|
প্রথম দুইটি কলাম একই ডানপক্ষ
\therefore\left|\[\begin{array}{lll}1 & b c & b c(b+c) \\ 1 & c a & c a(c+a) \\ 1 & a b & a b(a+b)\end{array}\]\right|=0. (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে,
\begin{aligned} & A=\left(\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & b c \\ (c+a)^2 & b^2 & c a \\ (a+b)^2 & c^2 & a b\end{aligned}\right) \\ & \therefore \operatorname{det} A=\left|\[\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & b c \\ (c+a)^2 & b^2 & c a \\ (a+b)^2 & c^2 & a^2\end{array}\]\right| \\ & =\left|\[\begin{array}{lll}(b+c)^2-a^2 & a^2 & b c \\ (c+a)^2-b^2 & b^2 & c^2 \\ (a+b)^2-c^2 & c^2 & a b\end{array}\]\right| \\ & =\left|\[\begin{array}{lll}(b+c+a)(b+c-a) & a^2 & b c \\ (c+a+b)(c+a-b) & b^2 & c a \\ (a+b+c)(a+b-c) & c^2 & a b\end{array}\]\right| \\ & =(a+b+c)\left|\[\begin{array}{lll}b+c-a & a^2 & b c \c+a-b & b^2 & c a \a+b-c & c^2 & a b\end{array}\]\right| \\ & =(a+b+c)\left|\[\begin{array}{lll}-2(a-b) & a^2-b^2 & -c(a-b) \\ -2(b-c) & b^2-c^2 & -a(b-c) \a+b-c & c^2 & a b\end{array}\]\right| r_1^{\prime}=r_1-r_2, \quad r_2^{\prime}=r_2-r_3 \\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\[\begin{array}{ccc}-2 & (a+b) & -c \\ -2 & b+c & -a \a+b-c & c^x & a b\end{array}\]\right| \\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & -(c-a) & -(c-a) \\ -2 & b+c & -a \a+b-c & \left.c^2+\infty\right) & a b\end{array}\]\right| r_1^{\prime}=r_1-r_2 \\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & -1 & -1 \\ -2 & b+c & -a \a+b-c & c^2 & a b\end{array}\]\right| \\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ -2 & a+b+c & -a \a+b-c & c^2-a b-b & a b\end{array}\]\right| c_2^{\prime}=c_2-c_3 \\ & \end{aligned}
\end{array}
= R.H.S (প্রমাণিত)\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে,
\begin{aligned} & B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{aligned}\right), C=\left(\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right), D=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\]\right) \\ & \therefore B C=D \\ & \Rightarrow\left(\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\]\right) \times\left(\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right)=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\]\right) \\ & \Rightarrow\left(\[\begin{array}{c}x+z \\ 2 y \\ 3 x+z\end{array}\]\right)=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\]\right)\end{aligned}
\end{array}
ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে পাই,
x + z = 1
2 y = 2
3x + z = 1
ও এর সহগের নির্ণায়ক
\begin{aligned} D=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{aligned}\right|=1(2-0)-0(0-0)+1(0-6) \end{aligned}
\end{array}
: অব্যতিত্রমী ম্যাট্রিক্স।
ধ্রুবক পদ ও এর সহগের নির্ণায়ক
\begin{aligned} D_x=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{aligned}\right| \\ & =1(2-0)-0(2-0)+1(0-2) \\ & =2-0-2 \\ & =0\end{aligned}
\end{array}
x এর সহগ ধ্রুবক পদ ও z এর সহগের নির্ণায়ক,
\begin{aligned} D_y =\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1\end{aligned}\right| \\ & =1(2-0)-1(0-0)+1(0-6) \\ & =2-0-6 \\ & =-4\end{aligned}
\end{array}
x, y এর সহগ ও ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক,
\begin{aligned} D_z=\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1\end{aligned}\right| & =1(2-0)-0(0-0)+1(0=6) \\ & =2=0=6 \\ & =-4\end{aligned}
\end{array}
নির্ণেয় সমাধান : \end{array}\end{array}