দেখাও যে, B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স?
উত্তর: দেওয়া আছে, B= [গণিত] দেখাতে হবে যে, B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স। B সমঘাতি ম্যাট্রিক্স হলে B² = B হবে। এখন, [গণিত] = B [গণিত] B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দেখাও যে, B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স?
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{ccc}x-1 & 1 & 2 \\ -2 & x+1 & 3 \\ 2 & 0 & x\end{array}\]\right]
এবং
B=\left[\[\begin{array}{rr}5 & 2 \\ -10 & -4\end{array}\]\right]
Dhaka · 2022
উত্তর
দেওয়া আছে, B=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 2 \\-10 & -4\end{array}\]\right]
দেখাতে হবে যে, B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।
B সমঘাতি ম্যাট্রিক্স হলে B² = B হবে।
এখন,
=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 2 \\-10 & -4\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{cc}5 & 2 \\-10 & -4\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{cc}25-20 & 10-8 \\-50+40 & -20+16\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 2 \\-10 & -4\end{array}\]\right] = B
= B
B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।
উত্তর
দেওয়া আছে,
\therefore\left[\[\begin{array}{ccc}x-1 & 1 & 2 \\-2 & x+1 & 3 \\2 & 0 & x\end{array}\]\right]=0
\Rightarrow\left|\[\begin{array}{ccc}x+2 & 1 & 2 \x+2 & x+1 & 3 \x+2 & 0 & x\end{array}\]\right|=0\left[c_{1}^{\prime}=c_{1}+c_{2}+c_{3}\right]
\Rightarrow(x+2)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\1 & x+1 & 3 \\1 & 0 & x\end{array}\]\right|=0
\Rightarrow(x+2)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\0 & x & 1 \\0 & -1 & x-2\end{array}\]\right|=0 \[\begin{array}{l}r_{2}^{\prime}=r_{2}-r_{1} \r_{3}^{\prime}=r_{3}-r_{1}\end{array}\]
Ans
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-1 & 1 & 2 \\ -2 & \mathrm{x}+1 & 3 \\ 2 & 0 & \mathrm{x}\end{array}\]\right]
হলে \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}\]\right]
\therefore \quad A^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0\end{array}\]\right]
এখন, \left|A^T\right| =\left|\[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0\end{array}\]\right|
বিদ্যমান।
\operatorname{Adj} A^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{lll}A_{11}^{\mathrm{T}} & A_{12}^{\mathrm{T}} & A^{\mathrm{T}}_{13} \\ \mathrm{~A}_{21}^{\mathrm{T}} & A_{22}^{\mathrm{T}} & A_{23}^{\mathrm{T}} \\ \mathrm{A}_{31}^{\mathrm{T}} & A^{\mathrm{T}}{ }_{32} & A^{\mathrm{T}}{ }_{33}\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}
এর সহগুণকসমূহ:
A^{\mathrm{T}}{ }_{11}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{array}\]\right|=0-0=0
A^T{ }_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\]\right|=-(0-0)=0
A_{13}^{\mathrm{T}}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\]\right|=3-2=1
A_{21}^T=-\left|\[\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 3 & 0 \end{array}\]\right|=-(0-6)=-(-6)=6
A_{22}^{\mathrm{T}}=\left|\[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\]\right|=0-4=-4
A_{23}^{\mathrm{T}}=-\left|\[\begin{array}{rr} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\]\right|=-(-3+4)=-1
A_{31}^{\mathrm{T}}=-\left|\[\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\]\right|=0-2=-2
A_{32}^T=-\left|\[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\]\right|=-(0-2)=2
A_{33}^{\mathrm{T}}=\left|\[\begin{array}{rr}-1 & -2 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=-1+2=1
\therefore \quad \operatorname{Adj} A^T=\left[\[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1 \\ 6 & -4 & -1 \\ -2 & 2 & 1\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{rrr}0 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
সুতরাং, . Adj A^T=\frac{1}{2}\left[\[\begin{array}{rrr}0 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
নির্ণেয় \left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\frac{1}{2}\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\]\right]