দেখাও যে, [গণিত] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: A সমঘাতী হলে, [গণিত] A হবে, এখন, [গণিত] যেহেতু, [গণিত] সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো) [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দেখাও যে, একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প-১: .
দৃশ্যকল্প-২ : \Delta=\left|\[\begin{array}{ccc}(s-x)^{2} & x^{2} & x^{2} \y^{2} & (s-y)^{2} & y^{2} \z^{2} & z^{2} & (s-z)^{2}\end{array}\]\right|
Dhaka · 2021
উত্তর
A সমঘাতী হলে, A হবে,
এখন, \begin{aligned} A^2 & =A \cdot A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -2 & -1\end{aligned}\right]\left[\[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\]\right] \\ & =\left[\[\begin{array}{rr}2 \cdot 2+1(-2) & 2 \cdot 1+1(-1) \\ (-2) \cdot 2+(-1)(-2) & (-2) \cdot 1+(-1) \cdot(-1)\end{array}\]\right] \\ & =\left[\[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\]\right]=\mathrm{A}\end{aligned}
\end{array}
যেহেতু,
সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে,
বা,
এবং
বা,
বা,
এবং,
বা,
বা,
সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) হতে পাই,
\mathrm{D}=\left|\[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 7 & 3 & 4\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_{\mathrm{y}}=\left|\[\begin{array}{ccc}2 & 10 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 7 & 4\end{array}\]\right|
\mathrm{D}_{z}=\left|\[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 10 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 7\end{array}\]\right|
নির্ণেয় সমাধান, .
উত্তর
দেওয়া আছে,
\Delta=\left|\[\begin{array}{ccc}(s-x)^{2} & x^{2} & x^{2} \y^{2} & (s-y)^{2} & y^{2} \z^{2} & z^{2} & (s-z)^{2}\end{array}\]\right|, s=x+y+z
=\left|\[\begin{array}{ccc}(y+z)^{2} & x^{2} & x^{2} \y^{2} & (x+z)^{2} & y^{2} \z^{2} & z^{2} & (x+y)^{2}\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} & x^{2}-(y+z)^{2} \y^{2} & (x+z)^{2}-y^{2} & y^{2}-y^{2} \z^{2} & z^{2}-z^{2} & (x+y)^{2}-z^{2}\end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{c}c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{1} \text{ এবং } \c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{1} \text{ প্রয়োগ করে }\end{array}\]\right]
=\left|\[\begin{array}{ccc}(y+z)^{2} & (x+y+z)(x-y-z) & (x+y+z)(x-y-z) \y^{2} & (x+y+z)(x+z-y) & 0 \z^{2} & 0 & (x+y+z)(x+y-z)\end{array}\]\right|
=(x+y+z)^{2}\left|\[\begin{array}{ccc}(y+z)^{2} & x-y-z & x-y-z \y^{2} & z+x-y & 0 \z^{2} & 0 & (x+y-z)\end{array}\]\right|
=(x+y+z)^{2}\left|\[\begin{array}{ccc}2 y z & -2 z & -2 y \y^{2} & z+x-y & 0 \z^{2} & 0 & x+y-z\end{array}\]\right|\left[r_{1}=r_{1}-r_{2}-r_{3}\right. প্রয়োগ করে
=2(x+y+z)^{2}\left|\[\begin{array}{ccc}y z & -z & -y \y^{2} & x+z-y & 0 \z^{2} & 0 & x+y-z\end{array}\]\right|
\left.=2(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^{2}\left|\[\begin{array}{ccc}\mathrm{yz} & 0 & 0 \\ \mathrm{y}^{2} & \mathrm{z}+x & \frac{y^{2}}{\mathrm{z}} \\ \mathrm{z}^{2} & \frac{z^{2}}{y} & \mathrm{x}+\mathrm{y}\end{array}\]\right| \mid \[\begin{array}{c}\mathrm{c}_{2}^{\prime}=\mathrm{c}_{2}+\frac{1}{\mathrm{y}} \mathrm{c}_{1} \text{ এবং } \\ \mathrm{c}_{3}^{\prime}=\mathrm{c}_{3}+\frac{1}{\mathrm{y}} \mathrm{c}_{1} \text{ প্রয়োগ করে }\end{array}\]\right]
=2(x+y+z)^{2} y z\left|\[\begin{array}{cc}z+x & y^{2} \\ \frac{z^{2}}{y} & x+y\end{array}\]\right|
(প্রমাণিত)