প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: L.H.S [গণিত] [সারিগুলোকে কলামে প্রতিস্থাপন করে পাই] [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প: A=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \\ 2 x^{3}+1 & 2 y^{3}+1 & 2 z^{3}+1 \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right] B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 1 \\1 & 2 & 1\end{array}\]\right]
Jessore · 2021
উত্তর
ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে,
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & m \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 0\end{aligned}\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 2 & m \\ -2 & 0 & 0 \\ 4 & -3 & 3\end{array}\]\right] \text{ হবে। }} \\ & \therefore\left[\[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & -3 \m & 3 & 0\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -m \\ 2 & 0 & -3 \\ -4 & 3 & 0\end{array}\]\right]\end{aligned}
\end{array}
ম্যাট্রিক্সের সমতা সূত্র অনুসারে, .\end{array}
উত্তর
L.H.S =\operatorname{det}(A)=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \\ 2 x^{3}+1 & 2 y^{3}+1 & 2 z^{3}+1 \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}x & 2 x^{3}+1 & x^{2} \y & 2 y^{3}+1 & y^{2} \z & 2 z^{3}+1 & z^{2}\end{array}\]\right] [সারিগুলোকে কলামে প্রতিস্থাপন করে পাই]
=\left[\[\begin{array}{lll}x & 2 x^{3} & x^{2} \y & 2 y^{3} & y^{2} \z & 2 z^{3} & z^{2}\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{ccc}x & 1 & x^{2} \y & 1 & y^{2} \z & 1 & z^{2}\end{array}\]\right]
=2 x y z\left[\[\begin{array}{lll}1 & x^{2} & x \\ 1 & y^{2} & y \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{lll}1 & x^{2} & x \\ 1 & y^{2} & y \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right]
=2 x y z\left[\[\begin{array}{lll}1 & x^{2} & x \\ 1 & y^{2} & y \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{lll}1 & x^{2} & x \\ 1 & y^{2} & y \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right]
=(2 x y z+1)\left[\[\begin{array}{lll}1 & x^{2} & x \\ 1 & y^{2} & y \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right]
=(2 x y z+1)\left[\[\begin{array}{ccc}0 & x^{2}-y^{2} & x-y \\ 0 & y^{2}-z^{2} & y-z \\ 1 & z^{2} & z\end{array}\]\right] \[\begin{aligned} & r_{1}{ }^{1}=r_{1}-r_{2} \\ & r_{2}{ }^{1}=r_{2}-r_{3}\end{aligned}\]
=(2 x y z+1)\left[\[\begin{array}{ll}x 2-y 2 & x-y \y 2-z 2 & y-z\end{array}\]\right]
=(2 x y z+1)\left[\[\begin{array}{ll}(x+y)(x-y) & x-y \\ (y+z)(y-z) & y-z\end{array}\]\right]
=(2 x y z)(x-y)(y-z)\left[\[\begin{array}{ll}(x+y) & 1 \\ (y+z) & 1\end{array}\]\right]
উত্তর
B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\]\right]
এমন একটি ম্যাট্রিক্স C নির্ণয় করতে হবে যেন, হয়।
এবং
B ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্সই হলো
B_{11}=\left[\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]=1
\mathrm{B}_{12}=-\left[\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right]=0
\mathrm{B}_{13}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\]\right]=-1
B_{21}=-\left[\[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]=-1
B_{22}=\left[\[\begin{array}{cc}2 & -1 \\1 & 1\end{array}\]\right]=3
B_{23}=\left[\[\begin{array}{ll}2 & 0 \\1 & 2\end{array}\]\right]=-4
B_{31}=\left[\[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\3 & 1\end{array}\]\right]=3
B_{32}=\left[\[\begin{array}{cc}2 & -1 \\1 & 1\end{array}\]\right]=-3
B_{33}=\left[\[\begin{array}{ll}2 & 0 \\1 & 3\end{array}\]\right]=6
\begin{aligned} & \operatorname{Adj} B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 3 & -3 & 6\end{aligned}\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right] \\ & \therefore \mathrm{C}=\mathrm{B}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~B}|} \operatorname{adj}(\mathrm{B}) \\ & =\frac{1}{3}\left[\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right] \\ & \end{aligned}
\end{array}\end{array}