[গণিত] হলে দেখাও যে, A একটি অভেদঘাতি মাট্রিক্সি।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] যেহেতু [গণিত] সুতরাং A একটি অভেঘাতি ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
হলে দেখাও যে, A একটি অভেদঘাতি মাট্রিক্সি।
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{cc}a & a+1 \\-a+1 & -a\end{array}\]\right], B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং C=\left[\[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\]\right]
Dhaka · 2019
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{cc}a & a+1 \\-a+1 & -a\end{array}\]\right]
হলে, A=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 5+1 \\-5+1 & -5\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 6 \\-4 & -5\end{array}\]\right]
A^2=A \cdot A=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 6 \\-4 & -5\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{cc}5 & 6 \\-4 & -5\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{cc}25-24 & 30-30 \\-20+20 & -24+25\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\]\right]=I
যেহেতু
সুতরাং A একটি অভেঘাতি ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right]
\therefore B^T=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & -5\end{array}\]\right]
\left|B^T\right|=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 4 \\3 & 2 & -5\end{array}\]\right]
এর সহগুণকসমূহ :
B_{11}^T=\left|\[\begin{array}{cc}0 & 4 \\2 & -5\end{array}\]\right|=0-8=8
B_{12}^T=\left|\[\begin{array}{cc}1 & 4 \\3 & -5\end{array}\]\right|=-(-5-12)=17
B_{13}^T=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\3 & 2\end{array}\]\right|=2-0=2
B_{21}^T=-\left|\[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -5\end{array}\]\right|=-(-5-6)=11
B_{22}^T=\left|\[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\]\right|=-10-9=-19
B_{23}^T=\left|\[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\]\right|=-(4-3)=-1
B_{31}^T=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 4\end{array}\]\right|=4-0=4
B_{32}^T=-\left|\[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=-(8-3)=-5
এবং B_{33}^T=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\]\right|=0-1=-1
\operatorname{Adj} B^T=\left[\[\begin{array}{lll}B_{11}^T & B_{12}^T & B_{13}^T \B_{21}^T & B_{22}^T & B_{23}^T \B_{31}^T & B_{32}^T & B_{33}^T\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & 17 & 2 \\11 & -19 & -1 \\4 & -5 & -1\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & 11 & 4 \\17 & -19 & -5 \\2 & -1 & -1\end{array}\]\right]
এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স,
=\frac{1}{7}\left[\[\begin{array}{ccc}-8 & 11 & 4 \\ 17 & -19 & -5 \\ 2 & -1 & -1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}\frac{-8}{7} & \frac{11}{7} & \frac{4}{7} \\ \frac{17}{7} & \frac{-19}{7} & \frac{-5}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{-1}{7}\end{array}\]\right]
নির্ণেয় এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \left[\[\begin{array}{ccc}\frac{-8}{7} & \frac{11}{7} & \frac{4}{7} \\ \frac{17}{7} & \frac{-19}{7} & \frac{-5}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{-1}{7}\end{array}\]\right]
উত্তর
দেওয়া আছে, B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -5\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং C=\left[\[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\]\right]
হলে, \left[\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}4 \\0 \\2\end{array}\]\right]
বা, \left[\[\begin{array}{c}2 x+y+3 z \x+0 y+2 z \\ 3 x+4 y-5 z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\]\right]
\therefore D=\left|\[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 4 & -5\end{array}\]\right|
D_x=\left|\[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 3 \\0 & 0 & 2 \\2 & 4 & -5\end{array}\]\right|
D_y=\left|\[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 3 \\1 & 0 & 2 \\3 & 2 & -5\end{array}\]\right|
D_z=\left|\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 4 \\1 & 0 & 0 \\3 & 4 & 2\end{array}\]\right|
এবং
নির্ণেয় সমাধান,