[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (Ans.) $
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
হলে, ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
Jessore · 2017
উত্তর
দেওয়া আছে, 2\left[\[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2
বা, \left[\[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 4 & -2\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]
বা, \mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 4 & -2\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -4 & 3\end{array}\]\right] (Ans.) $
উত্তর
ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে পাই,
\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c}1 \\ \mathrm{k} \\ \mathrm{k}^2\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{AX}=\mathrm{B}
যেখানে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right] \text{, }
\mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{array}\]\right] এবং \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{c}1 \\ \mathrm{k} \\ \mathrm{k}^2\end{array}\]\right]
\therefore \operatorname{det}(\mathrm{A})=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}1-1 & 1-1 & 1 \l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} & \mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right| \quad \[\begin{array}{c}{\left[\mathrm{C}_1{ }^{\prime}=\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_2 ;\right.} \\ \left.\mathrm{C}_2{ }^{\prime}=\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_3\right]\end{array}\]
=\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} & \mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{cc}l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{cc}l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} \\ (l+\mathrm{m})(l-\mathrm{m}) & (\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{m}+\mathrm{n})\end{array}\]\right|
=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \l+\mathrm{m} & \mathrm{m}+\mathrm{n}\end{array}\]\right|
দেখানো হনো)
উত্তর
(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে x, y ও z এর সহগ নিয়ে গঠিত
ম্যাট্রিক্স, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1^2 & 2^2 & (-1)^2 \end{array}\]\right][\because l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1]
=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{array}\]\right]
\therefore|\mathrm{A}|=\left|\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{array}\]\right|
নির্ণয়যোগ্য।
\therefore \operatorname{adjA}=\left[\[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 4 & 1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{lr}1 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|\end{array}\]\right]^{t}
=\left[\[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\]\right]^{\mathrm{t}}=\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\]\right]
adj \mathrm{A}=\frac{1}{6}\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\]\right] (Ans.)