বিস্তার না করে প্রমান কর যে, [গণিত]
উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ অতএব, [গণিত] (প্রমানিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
বিস্তার না করে প্রমান কর যে,
উদ্দীপক
\mathrm{A}= {\left[\[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\2 & 0 & 2 \\1 & -2 & 0\end{array}\]\right] }
সমীকরণ জোটঃ
Sylhet · 2019
উত্তর
বামপক্ষ =\left[\[\begin{array}{ccc}x y(x+y) & y z(y+z) & z x(z+x) \x y & y z & z x \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right]
=\frac{1}{x y z}\left[\[\begin{array}{ccc}x y z(x+y) & x y z(y+z) & x y z(z+x) \x y z & x y z & x y z \z & x & y\end{array}\]\right]
=\frac{(x y z)^2}{x y z}\left[\[\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ 1 & 1 & 1 \z & x & y\end{array}\]\right]
=\operatorname{xyz}\left[\[\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ 1 & 1 & 1 \z & x & y\end{array}\]\right]= ডানপক্ষ
অতএব, \left[\[\begin{array}{ccc}x y(x+y) & y z(y+z) & z x(z+x) \x y & y z & z x \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ 1 & 1 & 1 \z & x & y\end{array}\]\right] (প্রমানিত)
উত্তর
দেয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right]
এবং,
অতএব,
এখন,
=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\2 & 0 & 2 \\1 & -2 & 0\end{array}\]\right] \cdot\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\2 & 0 & 2 \\1 & -2 & 0\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}4+6-1 & 6+0+2 & -2+6+0 \\4+0+2 & 6+0-4 & -2+0+0 \\2-4+0 & -3+0+0 & -1-4+0\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 9 & 8 & 4 \\6 & 2 & -2 \\-2 & -3 & -5\end{array}\]\right]
3 \mathrm{~A}=3 \cdot\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}6 & 9 & -3 \\ 6 & 0 & 6 \\ 3 & -6 & 0\end{array}\]\right]
এখন, 2 \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\]\right]
অতএব,
=\left[\[\begin{array}{ccc}9 & 8 & 4 \\ 6 & 2 & -2 \\ -2 & -3 & -5\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc}6 & 9 & -3 \\ 6 & 0 & 6 \\ 3 & -6 & 0\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}9-6+2 & 8-9+0 & 4+3+0 \\ 6-6+0 & 2-0+2 & -2-6+0 \\ -2-3+0 & -3+6+0 & -5-0+2\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 7 \\ 0 & 4 & -8 \\ -5 & 3 & -3\end{array}\]\right]
উত্তর
দেয়া আছে,
(1),(2) ও (3) নং হতে পাই,
\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\1 & -2 & 2 \\2 & 1 & -1 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l} 6 \\3 \\1\end{array}\]\right]
বা,
এখন, |B|=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\]\right]=1(2-2)-1(-1-4)+(1+4)=0+5+5=10 \neq 0
অর্থাৎ, বিদ্যমান
B এর সহগগুলো নির্ণয় করিঃ
\mathrm{B}_{11}=\left|\[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\1 & -1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{12}=\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\2 & -1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{13}=\left|\[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\2 & 1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{21}=-\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\1 & -1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{22}=\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \\2 & -1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{23}=-\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\2 & -1\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{31}=\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\-2 & 2\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{32}=-\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\1 & 2\end{array}\]\right|
\mathrm{~B}_{33}=-\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\1 & -2\end{array}\]\right|
অতএব, AdjB = \left[\[\begin{array}{lll}B_{11} & B_{12} & B_{13} \B_{21} & B_{22} & B_{23} \B_{31} & B_{32} & B_{33}\end{array}\]\right]^T
=\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 5 \\2 & -3 & 1 \\4 & -1 & -3\end{array}\]\right]^T
=\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 4 \\5 & -3 & -1 \\5 & 1 & -3\end{array}\]\right]^T
অতএব,
=\frac{1}{10}\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 4 \\5 & -3 & -1 \\5 & 1 & -3 \end{array}\]\right]
(4) হতে পাই,
\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\frac{1}{10}\left[\[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 4 \\ 5 & -3 & -1 \\ 5 & 1 & -3\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 1\end{array}\]\right]
=\frac{1}{10}\left[\[\begin{array}{c}0+6+4 \\30-9-1 \\30+3-3\end{array}\]\right]=\frac{1}{10}\left[\[\begin{array}{l}10 \\20 \\30\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\]\right]
অতএব,
নির্ণেয় সমাধান :