(2, − 1 – 2) বিন্দুতে p-এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় কর।
উত্তর: এখানে [গণিত] এর গ্রেডিয়েন্ট, [গণিত] ∴ ( 2,-1,-2) বিন্দুতে P – এর গ্রেডিয়েন্ট [গণিত]
HSC Physics 1st Paper Chapter 1 : ভৌতজগত ও পরিমাপ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Physics 1st Paper · Chapter 1 : ভৌতজগত ও পরিমাপ · সৃজনশীল
(2, − 1 – 2) বিন্দুতে p-এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় কর।
উদ্দীপক
একটি স্কেলার রাশি এবং একটি ভেক্টর রাশি এবং অপর একটি ভেক্টর রাশি।
Sylhet · 2022
উত্তর
একটি বস্তুকে যেভাবেই রাখা হোক না কেন বস্তুর ভেতরে অবস্থিত যে বিন্দুতে মধ্যদিয়ে মোট ওজন ক্রিয়া করে সে বিন্দুকে বস্তুর ভারকেন্দ্র বলে।
উত্তর
মহাকর্ষীয় বিভর বলতে অসীম দুরত্ব থেকে একক ভরের কোন বস্তুকে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোন বিন্দুতে আনতে সম্পন্ন কাজের পরিমাপকে বুঝায়।
মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের কোন বিন্দুতে বিভর 12 J/kg-1বোঝায়, ঐ বিন্দুতে অসীম থেকে 1 kg ভরের কোন বস্তুকে আনতে 12 J কাজ সম্পন্ন করতে হবে।
উত্তর
এখানে
এর গ্রেডিয়েন্ট,
P= & \left(\hat{\imath} \frac{d}{d x}+\hat{\jmath} \frac{d}{d y}+\hat{k} \frac{d}{d z}\right)\left(2 x y^4-\right. \\ = & \hat{\imath} \frac{d}{d x}\left(2 x y^4-x^2 z\right)+\hat{\jmath} \frac{d}{d y} \\ & \left(2 x y^4-x^2 z\right)+\hat{k} \frac{d}{d z}\left(2 x y^4-x^2 z\right) \\ = & \left(2 y^4-2 x z\right) \hat{\imath}+8 x y^3 \hat{\jmath}-x^2 \hat{k}\end{aligned}
∴ ( 2,-1,-2) বিন্দুতে P – এর গ্রেডিয়েন্ট
P= & \left\{2 x(-1)^4-2 \times 2 \times(-2)\right\} \hat{\imath}\{8 \times 2 x(-1)^3\} \hat{\jmath} 2^2 \hat{k} \\ = & 10 \hat{\imath}-16 \hat{\jmath}-4 \hat{k}[\text{ Ans }]\end{aligned}
উত্তর
এর ডাইভারজেন্স
এর ডাইভারজেন্স,
\overrightarrow{\mathrm{B}}= & \left(\hat{\imath} \frac{d}{d x}+\hat{\jmath} \frac{d}{d y}+\hat{k} \frac{d}{d z}\right)\left\{\left(6 x y+z^3\right) \hat{\imath}+\right. \\ & \left.\left(3 x^2-z\right) \hat{\jmath}+\left(3 x z^2-y\right) \hat{k}\right\} \\ = & \frac{d}{d x}\left(6 x y+z^3\right)+\frac{d}{d y}\left(3 x^2-z\right)+ \\ & \frac{d}{d z}\left(3 x z^2-y\right) \\ = & 6 y+6 z x\end{aligned}
এর কার্ল,
\times \overrightarrow{\mathrm{A}}= & \left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{d}{d x} & \frac{d}{d y} & \frac{d}{d z} \\ 2 x+y & 3 x+z^2 & -5 z+x\end{aligned}\right| \\ = & \hat{\imath}\left\{\frac{d}{d y}(-5 z+x)-\frac{d}{d z}\left(3 y+z^2\right)\right\}- \\ & \hat{\jmath}\left\{\frac{d}{d x}(-5 x+x)-\frac{d}{d z}(2 x+y)\right\}+ \\ & \hat{k}\left\{\frac{d}{d x}\left(3 y+z^2\right)-\frac{d}{d y}(2 x+y)\right\} \\ & =\hat{\imath}(0-2 z)-\hat{\jmath}(1-0)+\hat{k}(0-1) \\ & =-2 z \hat{\imath}-\hat{\jmath}-\widehat{k} .\end{aligned}
\end{array}
এর কার্ল,
\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{d}{d x} & \frac{d}{d y} & \frac{d}{d z} \\ 6 x y+z^3 & 3 x^2-z & 3 x z^2-y\end{aligned}\right| \\ &=\hat{\imath}\left\{\frac{d}{d y}\left(3 x z^2-y\right)-\frac{d}{d z}\left(3 x^2-z\right)\right\}- \\ & \hat{\jmath}\left\{\frac{d}{d x}\left(3 x z^2-y\right)-\frac{d}{d z}\left(6 x y+z^3\right)\right\}+ \\ & \hat{k}\left\{\frac{d}{d x}\left(3 x^2-z\right)-\frac{d}{d y}\left(6 x y+z^3\right)\right\} \\ &=(-1+1) \hat{\imath}-\left(3 z^2-3 z^2\right) \hat{\jmath}+ \\ & \\ &=0\end{aligned}
\end{array}
∴ সুতরাং ভেক্টটি সলিনয়ডাল এবং ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীন।\end{array}