উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] ; যা একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স [গণিত] - একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]
Rajshahi · 2022
উত্তর
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স B কে বিপ্রতিসম বলা হবে যদি হয়।
ধরি,
B=\left[\[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\-a & 0 & c \\-b & -c & 0\end{array}\]\right]
B^T =\left[\[\begin{array}{rrr}0 & -a & -b \a & 0 & -c \b & c & 0\end{array}\]\right]
=-\left[\[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\-a & 0 & c \\-b & -c & 0\end{array}\]\right]=-B
অর্থাৎ,
সুতরাং B হলো একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]
A^2=A \cdot A=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}1 \cdot 1+3 \cdot 3+3 \cdot 3 & 1 \cdot 3+3 \cdot 1+3 \cdot 3 & 1 \cdot 3+3 \cdot 3+3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1+1 \cdot 3+3 \cdot 3 & 3 \cdot 3+1 \cdot 1+3 \cdot 3 & 3 \cdot 3+1 \cdot 3+3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1+3 \cdot 3+1 \cdot 3 & 3 \cdot 3+3 \cdot 1+1 \cdot 3 & 3 \cdot 3+3 \cdot 3+1 \cdot 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}19 & 15 & 15 \\ 15 & 19 & 15 \\ 15 & 15 & 19\end{array}\]\right]
এখন,
=\left[\[\begin{array}{lll}19 & 15 & 15 \\ 15 & 19 & 15 \\ 15 & 15 & 19\end{array}\]\right]-5\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]-14\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}19 & 15 & 15 \\ 15 & 19 & 15 \\ 15 & 15 & 19\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc}5 & 15 & 15 \\ 15 & 5 & 15 \\ 15 & 15 & 5\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc}14 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & 0 \\ 0 & 0 & 14\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\]\right] ; ; যা একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
- একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\]\right]
বিদ্যমান।
Adj A=\left[\[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \A_{21} & A_{22} & A_{23} \A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\]\right]^T
A-এর সহগুণকসমূহ :
A_{11}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=1-9=-8
A_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=-(3-9)=6
A_{13}=\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 3 & 3\end{array}\]\right|=9-3=6
A_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=-(3-9)=6
A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=1-9=-8
A_{23}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 3\end{array}\]\right|=-(3-9)=6
A_{31}=-\left|\[\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=9-3=6
A_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 3\end{array}\]\right|=-(3-9)=6
A_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=1-9=-8
\therefore \operatorname{Adj} A=\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & 6 & 6 \\ 6 & -8 & 6 \\ 6 & 6 & -8\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & 6 & 6 \\ 6 & -8 & 6 \\ 6 & 6 & -8\end{array}\]\right]
\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{28}\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & 6 & 6 \\ 6 & -8 & 6 \\ 6 & 6 & -8\end{array}\]\right]
নির্ণেয় A^{-1}=\frac{1}{28}\left[\[\begin{array}{rrr}-8 & 6 & 6 \\ 6 & -8 & 6 \\ 6 & 6 & -8\end{array}\]\right]