চিত্রে একটি অগ্রগামী তরঙ্গ দেখানো হয়েছে। উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও : চিত্রে প্রদর্শিত তরঙ্গের অনুরূপ আরেকটি তরঙ্গ বিপরীত দিক হতে সঞ্চালিত হয়ে উদ্দীপকের তরঙ্গটির উপর আপতিত হয়ে

Question

চিত্রে একটি অগ্রগামী তরঙ্গ দেখানো হয়েছে। উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নের উত্তর দাও : চিত্রে প্রদর্শিত তরঙ্গের অনুরূপ আরেকটি তরঙ্গ বিপরীত দিক হতে সঞ্চালিত হয়ে উদ্দীপকের তরঙ্গটির উপর আপতিত হয়ে যে তরঙ্গ সৃষ্টি করে $\rm{x}$ দূরত্বে তার সমীকরণ—

Accepted Answer

তরঙ্গ অধ্যায়ন সংক্রান্ত প্রশ্নটিতে দুটি সম амплиচিউড ($A=0.04$ m) এবং সম কম্পাঙ্ক ($f$) বিশিষ্ট অগ্রগামী তরঙ্গ যখন বিপরীত দিক থেকে এসে একে অপরের উপর আপতিত হয়, তখন স্থির তরঙ্গ (stationary wave) সৃষ্টি হয়। স্থির তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ হল $Y = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ অথবা $Y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$। চিত্রে প্রদর্শিত অগ্রগামী তরঙ্গের সাধারণ সমীকরণ $y_1 = A \sin(kx - \omega t)$ অথবা $y_1 = A \cos(kx - \omega t)$ জাতীয় হবে। প্রশ্নে $Y=0.04 \cos 5 \pi x \sin 100 \pi t$ এর মতো সমীকরণ দেওয়ায়, ধরে নিতে পারি যে প্রাথমিক তরঙ্গের সমীকরণ ছিল $y_1 = 0.02 \cos(5\pi x - \omega t)$ বা $y_1 = 0.02 \sin(5\pi x - \omega t)$। যদি বিপরীত দিক থেকে আসা তরঙ্গের সমীকরণ $y_2 = 0.02 \cos(5\pi x + \omega t)$ হয়, তবে সুপারপজিশনের ফলে সৃষ্ট স্থির তরঙ্গের সমীকরণ হবে: $Y = y_1 + y_2 = 0.02 \cos(5\pi x - \omega t) + 0.02 \cos(5\pi x + \omega t)$ $Y = 0.02 [ \cos(5\pi x - \omega t) + \cos(5\pi x + \omega t) ]$ trigonometric identity $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ ব্যবহার করে পাই: $Y = 0.02 [ 2 \cos(5\pi x) \cos(\omega t) ]$ $Y = 0.04 \cos(5\pi x) \cos(\omega t)$ কিন্তু বিকল্পগুলিতে $\sin(\omega t)$ আছে। তাই ধরে নিতে পারি, প্রাথমিক তরঙ্গের একটি সমীকরণ $y_1 = 0.02 \sin(5\pi x - \omega t)$। বিপরীত দিক থেকে আসা তরঙ্গের সমীকরণ $y_2 = 0.02 \sin(5\pi x + \omega t)$। $Y = y_1 + y_2 = 0.02 \sin(5\pi x - \omega t) + 0.02 \sin(5\pi x + \omega t)$ trigonometric identity $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ ব্যবহার করে পাই: $Y = 0.02 [ 2 \sin(5\pi x) \cos(\omega t) ]$ $Y = 0.04 \sin(5\pi x) \cos(\omega t)$ আবার, যদি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ $y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ হয়, তবে বিপরীত দিক থেকে আসা তরঙ্গের সমীকরণ $y_2 = A \sin(\omega t + kx)$ হবে। $Y = y_1 + y_2 = A \sin(\omega t - kx) + A \sin(\omega t + kx)$ $Y = A [\sin(\omega t - kx) + \sin(\omega t + kx)]$ trigonometric identity $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ ব্যবহার করে পাই: $Y = A [2 \sin(\omega t) \cos(kx)]$ $Y = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$ প্রশ্নে প্রদর্শিত তরঙ্গের সাধারণ রূপ $Y = 0.04 \cos(5\pi x) \sin(\omega t)$ । এখানে $2A = 0.04$, সুতরাং $A=0.02$ এবং $k = 5\pi$. তরঙ্গের সমীকরণে $\omega t$ অর্থাৎ কম্পাঙ্ক $f$ এর সাথে $t$ এর গুণফল হল $\omega$. বিকল্পগুলিতে $100\pi t, 200\pi t, 300\pi t, 400\pi t$ রয়েছে। অর্থাৎ $\omega = 100\pi, 200\pi, 300\pi, 400\pi$. প্রশ্নে 'চিত্রটি একটি অগ্রগামী তরঙ্গ দেখায়' বলা হয়েছে, কিন্তু চিত্রটি অনুপস্থিত। তবে, যে বিকল্পটি সঠিক বলে ধরা হচ্ছে, তা হলো A। যদি $\omega = 100\pi$ হয়, তাহলে $Y = 0.04 \cos(5\pi x) \sin(100\pi t)$ হয়। এই ক্ষেত্রে, $k = 5\pi$ এবং $\omega = 100\pi$. তরঙ্গের বেগ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100\pi}{5\pi} = 20$ m/s. সুতরাং, যদি একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ $y = 0.02 \sin(100\pi t - 5\pi x)$ বা $y = 0.02 \cos(5\pi x - 100\pi t)$ জাতীয় হয়, তবে বিপরীত দিক থেকে আসা তরঙ্গের সাথে মিলিত হয়ে উপরিউক্ত স্থির তরঙ্গের সমীকরণ পাওয়া যাবে। যেহেতু প্রশ্নটি একটি নির্দিষ্ট চিত্র থেকে দেওয়া এবং চিত্রটি অনুপস্থিত, তাই কেবল সমীকরণের সাধারণ রূপ এবং বিকল্পগুলির উপর ভিত্তি করে উত্তর নির্বাচন করতে হবে। এখানে, $k$ এর মান $5\pi$ স্থির রয়েছে, এবং $\omega$ এর বিভিন্ন মান দেওয়া আছে। যদি $\omega = 100\pi$ হয়, তবে বিকল্প A সঠিক হবে। বিশেষভাবে, যদি একটি অগ্রগামী তরঙ্গের সমীকরণ $y_1 = 0.02 \sin(100\pi t - 5\pi x)$ হয়, তবে বিপরীত দিক থেকে আসা তরঙ্গের সমীকরণ $y_2 = 0.02 \sin(100\pi t + 5\pi x)$ হবে। $Y = y_1 + y_2 = 0.02[\sin(100\pi t - 5\pi x) + \sin(100\pi t + 5\pi x)]$ $Y = 0.02 [2 \sin(100\pi t) \cos(5\pi x)]$ $Y = 0.04 \sin(100\pi t) \cos(5\pi x)$ এই সমীকরণটি বিকল্প A এর অনুরূপ, কেবল $\sin$ এবং $\cos$ এর অবস্থান পরিবর্তিত। যদি প্রাথমিক তরঙ্গের সমীকরণ $y_1 = 0.02 \cos(5\pi x - 100\pi t)$ হয়, তবে $y_2 = 0.02 \cos(5\pi x + 100\pi t)$ হবে। $Y = y_1 + y_2 = 0.02[\cos(5\pi x - 100\pi t) + \cos(5\pi x + 100\pi t)]$ $Y = 0.02[2 \cos(5\pi x) \cos(100\pi t)]$ $Y = 0.04 \cos(5\pi x) \cos(100\pi t)$ সুতরাং, যেহেতু বিকল্প A এ $Y=0.04 \cos 5 \pi x \sin 100 \pi t$ দেওয়া আছে, এটি একটি স্থির তরঙ্গের সমীকরণ যেখানে $\cos(kx)$ অংশটি অবস্থান এবং $\sin(\omega t)$ অংশটি সময় নির্ভর। এটি একটি নির্দিষ্ট ধরনের স্থির তরঙ্গের সাধারণ রূপ। $k=5\pi$ এবং $\omega=100\pi$ এই মানগুলির জন্য বিকল্প A সঠিক। অন্য বিকল্পগুলিতে $\omega$ এর মান ভিন্ন, যা ভিন্ন কম্পাঙ্কের নির্দেশ করে। অতএব, প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, $Y=0.04 \cos 5 \pi x \sin 100 \pi t$ একটি স্থির তরঙ্গের প্রতিনিধিত্ব করে, যেখানে $\cos(kx)$ পদটি নোড এবং অ্যান্টি-নোডের অবস্থান নির্দেশ করে এবং $\sin(\omega t)$ পদটি সময়ের সাথে বিস্তার পরিবর্তন নির্দেশ করে। এখানে $k = 5\pi$ এবং $\omega = 100\pi$. চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে, বিকল্প A সঠিক কারণ এটি স্থির তরঙ্গের সাধারণ রূপ $Y = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ অথবা $Y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এখানে $2A=0.04$, $k=5\pi$, এবং $\omega=100\pi$. স্থির তরঙ্গের গঠনে দুটি অগ্রগামী তরঙ্গের উপরিপাতন ঘটে, যেখানে একটি তরঙ্গের সমীকরণ $y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ এবং অন্যটির $y_2 = A \sin(\omega t + kx)$ হলে, তাদের যোগফল $Y = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$ হয়। বিকল্প A তে এই রূপটি রয়েছে।

HSC Physics 1st Paper MCQ — চিত্রে একটি অগ্রগামী তরঙ্গ দেখানো হয়েছে। উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে নিচের প

আরো প্রশ্ন দেখো