Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: আমরা জানি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

Dinajpur · 2025

উত্তর

আমরা জানি, tan⁡45∘=1\tan 45^{\circ}=1 বা, tan⁡(33∘+12∘)=1\tan \left(33^{\circ}+12^{\circ}\right)=1 বা, tan⁡33∘+tan⁡12∘1−tan⁡33∘tan⁡12∘=1\frac{\tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}}{1-\tan 33^{\circ} \tan 12^{\circ}}=1 [∵tan⁡( A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B]\left[\because \tan (\mathrm{~A}+\mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B}}{1-\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}}\right] বা, tan⁡33∘+tan⁡12∘=1−tan⁡33∘⋅tan⁡12∘\tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}=1-\tan 33^{\circ} \cdot \tan 12^{\circ} ∴tan⁡33∘+tan⁡12∘+tan⁡33∘tan⁡12∘=1\therefore \tan 33^{\circ}+\tan 12^{\circ}+\tan 33^{\circ} \tan 12^{\circ}=1 (প্রমাণিত)

উত্তর

question image দেওয়া আছে, (a+b+c)(b+c−a)=3bc(a+b+c)(b+c-a)=3 b c বা, {(b+c)+a}{(b+c)−a}=3bc\{(b+c)+a\}\{(b+c)-a\}=3 b c বা, (b+c)2−a2=3bc(b+c)^2-a^2=3 b c বা, b2+2bc+c2−a2=3bcb^2+2 b c+c^2-a^2=3 b c বা, b2+c2−a2=3bc−2bcb^2+c^2-a^2=3 b c-2 b c, বা, b2+c2−a2=bcb^2+c^2-a^2=b c বা, b2+c2−a22bc=bc2bc\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c} বা, cos⁡A=12=cos⁡60∘\cos \mathrm{A}=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ} ∴A=60∘\therefore \mathrm{A}=60^{\circ} আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, ∴asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R ∴a=2Rsin⁡A,b=2Rsin⁡B,\therefore a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2Rsin⁡Cc=2 R \sin C এখন, b+c2a=2Rsin⁡B+2Rsin⁡C2⋅2Rsin⁡A\frac{b+c}{2 a}=\frac{2 R \sin B+2 R \sin C}{2 \cdot 2 R \sin A} =sin⁡B+sin⁡C2sin⁡A=2sin⁡B+C2cos⁡B−C22⋅2sin⁡A2cos⁡A2=\frac{\sin B+\sin C}{2 \sin A}=\frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \cdot 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} =sin⁡(π−A2)cos⁡B−C22sin⁡A2cos⁡A2=\frac{\sin \left(\frac{\pi-A}{2}\right) \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} [∵A+B+C=π][\because A+B+C=\pi] =cos⁡A2cos⁡B−C22sin⁡A2cos⁡A2= \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} =cos⁡B−C22sin⁡30∘[∵A=60∘]= \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin 30^{\circ}}\left[\because A=60^{\circ}\right] বা, b+c2a=cos⁡B−C2\frac{b+c}{2 a}= \cos \frac{B-C}{2} ∴b+ca=2cos⁡B−C2\therefore \frac{b+c}{a}= 2 \cos \frac{B-C}{2} (দেখানো হলো)

উত্তর

চিত্রে, △ABC−\triangle \mathrm{ABC}- এ, A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi এখন, a3cos⁡(2C+A−π)\mathrm{a}^3 \cos (2 \mathrm{C}+\mathrm{A}-\pi) =a3cos⁡(2C+A−A−B−C)=a3cos⁡(C−B)=a^3 \cos (2 C+A-A-B-C)=a^3 \cos (C-B) =a3(cos⁡Ccos⁡B+sin⁡Csin⁡B)=a^3(\cos C \cos B+\sin C \sin B) [∵cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡A⋅sin⁡B][\because \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \cdot \sin B] =a(acos⁡Cacos⁡B+asin⁡Casin⁡B)=a(a \cos C a \cos B+a \sin C a \sin B) =a(b−ccos⁡A)(c−bcos⁡A)+2Rsin⁡A⋅c2R⋅2Rsin⁡A⋅b2R]\left.=a(b-c \cos A)(c-b \cos A)+2 R \sin A \cdot \frac{c}{2 R} \cdot 2 R \sin A \cdot \frac{b}{2 R}\right] [যেকোনো △ABC−এ,a=bcos⁡C+ccos⁡B,b=ccos⁡A+acos⁡C\triangle A B C-এ, a=b \cos C+c \cos B, b=c \cos A+a \cos C C=acos⁡B+bcos⁡AC=a \cos B+b \cos A এবং asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2]\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 ] =a[bc−c2cos⁡A−b2cos⁡A+bccos⁡2A+bcsin⁡2A]=a\left[b c-c^2 \cos A-b^2 \cos A+b c \cos^2 A+b c \sin^2 A\right] =a[bc−(b2+c2)cos⁡A+bc(cos⁡2A+sin⁡2A)]=a\left[b c-\left(b^2+c^2\right) \cos A+b c\left(\cos^2 A+\sin^2 A\right)\right] =a[bc−(b2+c2)cos⁡A+bc][∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1]=a\left[b c-\left(b^2+c^2\right) \cos A+b c\right]\left[\because \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\right] =a[2bc−(b2+c2)cos⁡A]=a\left[2 b c-\left(b^2+c^2\right) \cos A\right] ∴a3cos⁡(2C+a−π)=2abc−a(b2+c2)cos⁡A……..(1)\therefore a^3 \cos (2 C+a-\pi)=2 a b c-a\left(b^2+c^2\right) \cos A \ldots \ldots . . (1) অনুরূপভাবে, b3cos⁡(2A+B−π)=2abc−b(c2+a2)cos⁡Bb^3 \cos (2 A+B-\pi)=2 a b c-b\left(c^2+a^2\right) \cos B ……..(2)\ldots\ldots.. (2) c3cos⁡(2B+C−π)=2abc−c(a2+b2)cos⁡Cc^3 \cos (2 B+C-\pi)=2 a b c-c\left(a^2+b^2\right) \cos C
……..(3)(1)\ldots\ldots.. (3) (1)
নং, (2) নং ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, a3cos⁡(2C+A−π)+b3cos⁡(2A+B−π)+c3cos⁡(2B+C−π)a^3 \cos (2 C+A-\pi)+b^3 \cos (2 A+B-\pi) +c^3 \cos (2 B+C-\pi) =2abc−a(b2+c2)cos⁡A+2abc−b(c2=2 a b c-a\left(b^2+c^2\right) \cos A+2 a b c-b(c^2 +a2cos⁡B+2abc−c(a2+b2)cos⁡C+a^2 \cos B +2 a b c-c\left(a^2+b^2\right) \cos C =6abc−ab2cos⁡A−ac2cos⁡A−bc2cos⁡B=6 a b c-a b^2 \cos A-a c^2 \cos A-b c^2 \cos B −a2bcos⁡B−a2ccos⁡C−b2ccos⁡C-a^2 b \cos B -a^2 c \cos C-b^2 c \cos C =6abc−[ab2cos⁡A+a2bcos⁡B+ac2cos⁡A=6 a b c-[a b^2 \cos A+a^2 b \cos B+a c^2 \cos A +a2ccos⁡C+bc2cos⁡B+b2Ccos⁡C+a^2 c \cos C+b c^2 \cos B+b^2 C \cos C =6abc−[ab(bcos⁡A+acos⁡B)+=6 a b c-[a b(b \cos A+a \cos B)+ ac(ccos⁡A+acos⁡C)+bc(ccos⁡B+bcos⁡C)a c(c \cos A+a \cos C) +b c(c \cos B+b \cos C) [যেকোনো ত্রিভুজ ABCABC -এ, a=bcos⁡C+ccos⁡Ba=b \cos C+c \cos B b=ccos⁡A+acos⁡C,C=acos⁡B+bcos⁡A]b=c \cos A+a \cos C, C=a \cos B+b \cos A] =6abc−[abc+abc+abc]=6 a b c-[a b c+a b c+a b c] =6abc−3abc=3abc=6 a b c-3 a b c=3 a b c ∴a3cos⁡(2C+A−π)+b3cos⁡(2A+B−π)\therefore a^3 \cos (2 C+A-\pi)+b^3 \cos (2 A+B-\pi) =3abc−c3cos⁡(2B+C−π)=3 a b c-c^3 \cos (2 B+C-\pi) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন