Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = 2 = ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২ : m=sin⁡2α,n=sin⁡2β,r=sin⁡2γ\mathrm{m}=\sin 2 \alpha, \mathrm{n}=\sin 2 \beta, \mathrm{r}=\sin 2 \gamma এবং α+β+γ=π\alpha+\beta+\gamma=\pi

Jessore · 2025

উত্তর

tan⁡75∘=tan⁡(45∘+30∘)\tan 75^{\circ} =\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) =tan⁡45∘+tan⁡30∘1−tan⁡45∘⋅tan⁡30∘=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} =1+131−1⋅13=3+133−13=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} =3+13×33−1=3+13−1=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} =(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =(3)2+23+1(3)2−(1)2=\frac{(\sqrt{3})^2+2 \sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-(1)^2} =4+232=2(2+3)2=\frac{4+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2} =2+3=2+\sqrt{3} নির্ণেয় মান : 2+32+\sqrt{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, A=60∘\mathrm{A}=60^{\circ} আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, asin⁡ A=bsin⁡ B=csin⁡C=2R\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{~A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{~B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=2 \mathrm{R} ∴a=2Rsin⁡ A, b=2Rsin⁡ B,\therefore \mathrm{a}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~A}, \mathrm{~b}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~B}, c=2Rsin⁡C\mathrm{c}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C} এখন, b+c2a=2Rsin⁡ B+2Rsin⁡C2⋅2Rsin⁡ A\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2 \mathrm{a}} =\frac{2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~B}+2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C}}{2 \cdot 2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~A}} =sin⁡B+sin⁡C2sin⁡ A=2sin⁡ B+C2cos⁡ B−C22⋅2sin⁡ A2cos⁡ A2=\frac{\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}}{2 \sin \mathrm{~A}}=\frac{2 \sin \frac{\mathrm{~B}+\mathrm{C}}{2} \cos \frac{\mathrm{~B}-\mathrm{C}}{2}}{2 \cdot 2 \sin \frac{\mathrm{~A}}{2} \cos \frac{\mathrm{~A}}{2}} =sin⁡(π−A2)cos⁡B−C22sin⁡ A2cos⁡ A2=\frac{\sin \left(\frac{\pi-\mathrm{A}}{2}\right) \cos \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}}{2 \sin \frac{\mathrm{~A}}{2} \cos \frac{\mathrm{~A}}{2}} [∵ A+B+C=π][\because \mathrm{~A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi] =cos⁡A2cos⁡B−C22sin⁡A2cos⁡A2=\frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} =cos⁡B−C22sin⁡30∘[∵A=60∘]=\frac{\cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin 30^{\circ}}\left[\because A=60^{\circ}\right] বা, b+c2a=cos⁡B−C2\frac{b+c}{2 a}=\cos \frac{B-C}{2} ∴b+ca=2cos⁡B−C2\therefore \quad \frac{b+c}{a}=2 \cos \frac{B-C}{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, m=sin⁡2αm=\sin 2 \alpha n=sin⁡2βn=\sin 2 \beta r=sin⁡2γr=\sin 2 \gamma এবং α+β+γ=π\alpha+\beta+\gamma=\pi বামপক্ষ =m2+n2+r2+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=m^2+n^2+r^2+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =sin⁡22α+sin⁡22β+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=\sin^2 2 \alpha+\sin^2 2 \beta+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =12(2sin⁡22α+2sin⁡22β)+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=\frac{1}{2}\left(2 \sin^2 2 \alpha+2 \sin^2 2 \beta\right)+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =12(1−cos⁡4α+1−cos⁡4β)+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=\frac{1}{2}(1-\cos 4 \alpha+1-\cos 4 \beta)+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =1−12(cos⁡4α+cos⁡4β)+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=1-\frac{1}{2}(\cos 4 \alpha+\cos 4 \beta)+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =1−12⋅2cos⁡4α+4β2cos⁡4α−4β2+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=1-\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{4 \alpha+4 \beta}{2} \cos \frac{4 \alpha-4 \beta}{2}+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =1−cos⁡(2α+2β)cos⁡(2α−2β)+sin⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=1-\cos (2 \alpha+2 \beta) \cos (2 \alpha-2 \beta)+\sin^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =1−cos⁡(2π−2γ)cos⁡(2α−2β)+1−cos⁡22γ=1-\cos (2 \pi-2 \gamma) \cos (2 \alpha-2 \beta)+1-\cos^2 2 \gamma +2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma \left[\[\begin{array}{l}\because \alpha+\beta+\gamma=\pi \\ \therefore 2 \alpha+2 \beta=2 \pi-2 \gamma\end{array}\]\right] =2−cos⁡2γcos⁡(2α−2β)−cos⁡22γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-\cos 2 \gamma \cos (2 \alpha-2 \beta)-\cos^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =2−cos⁡2γ{cos⁡(2α−2β)+cos⁡2γ}+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos 2 \gamma\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =2−cos⁡2γ{cos⁡(2α−2β)+cos⁡(2π−2α−2β)}+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos (2 \pi-2 \alpha-2 \beta)\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =2−cos⁡2γ{cos⁡(2α−2β)+cos⁡(2α+2β)}+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos (2 \alpha+2 \beta)\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =2−cos⁡2γ⋅2cos⁡2αcos⁡2β+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-\cos 2 \gamma \cdot 2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma =2−2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2-2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma = 2 = ডানপক্ষ ∴m2+n2+r2+2cos⁡2αcos⁡2βcos⁡2γ=2\therefore \mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2+\mathrm{r}^2+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma=2 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন