Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: চিত্র হতে, [গণিত] এ, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = 2 ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image

Dinajpur · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sec⁡(x2+π4)=\sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =1cos⁡(x2+π4)=\frac{1}{\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} [∵sec⁡θ=1cos⁡θ]\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\right] =1cos⁡x2cos⁡π4−sin⁡x2sin⁡π4=\frac{1}{\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4}-\sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4}} [∵cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B][\because \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B] =112cos⁡x2−sin⁡x2⋅12=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} =1cos⁡x2−sin⁡x22=2cos⁡x2−sin⁡x2=\frac{1}{\frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}} =2⋅22⋅(cos⁡x2−sin⁡x2)2=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}} =22cos⁡2x2+sin⁡2x2−2⋅sin⁡x2⋅cos⁡x2=\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}-2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}} =221−sin⁡2x2=22(1−sin⁡x)=\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{1-\sin 2 \frac{x}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2(1-\sin x)}} =22−2sin⁡x==\frac{2}{\sqrt{2-2 \sin x}}= ডানপক্ষ ∴sec⁡(x2+π4)=22−2sin⁡x\therefore \sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{\sqrt{2-2 \sin x}} (দেখানো হলো)

উত্তর

চিত্র হতে, △ABC−\triangle \mathrm{ABC}- এ, B=30∘\mathrm{B}=30^{\circ} ∴B3=10∘\therefore \frac{\mathrm{B}}{3} =10^{\circ} বামপক্ষ =16sin⁡ B3sin⁡5 B3sin⁡7 B3=16 \sin \frac{\mathrm{~B}}{3} \sin \frac{5 \mathrm{~B}}{3} \sin \frac{7 \mathrm{~B}}{3} =16sin⁡10∘sin⁡50∘sin⁡70∘=16 \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ} =8⋅(2sin⁡50∘sin⁡10∘)sin⁡70∘=8 \cdot\left(2 \sin 50^{\circ} \sin 10^{\circ}\right) \sin 70^{\circ} =8⋅(2sin⁡40∘+60∘2⋅sin⁡60∘−40∘2)⋅sin⁡70∘=8 \cdot\left(2 \sin \frac{40^{\circ}+60^{\circ}}{2} \cdot \sin \frac{60^{\circ}-40^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin 70^{\circ} =8(cos⁡40∘−cos⁡60∘)sin⁡70∘=8\left(\cos 40^{\circ}-\cos 60^{\circ}\right) \sin 70^{\circ} [∵cos⁡C−cos⁡D=2sin⁡C+D2⋅sin⁡D−C2]{\left[\because \cos \mathrm{C}-\cos \mathrm{D}=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cdot \sin \frac{\mathrm{D}-\mathrm{C}}{2}\right] } =8cos⁡40∘sin⁡70∘−812sin⁡70∘= 8 \cos 40^{\circ} \sin 70^{\circ}-8 \frac{1}{2} \sin 70^{\circ} =4⋅(2sin⁡70∘cos⁡40∘)−4sin⁡70∘=4 \cdot\left(2 \sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ}\right)-4 \sin 70^{\circ} =4(2sin⁡110∘+30∘2⋅cos⁡110∘−30∘2)⋅4sin⁡70∘= 4\left(2 \sin \frac{110^{\circ}+30^{\circ}}{2} \cdot \cos \frac{110^{\circ}-30^{\circ}}{2}\right) \cdot 4 \sin 70^{\circ} =4(sin⁡110∘+sin⁡30∘)−4sin⁡70∘= 4\left(\sin 110^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)-4 \sin 70^{\circ} [∵sin⁡C+sin⁡D=2sin⁡C+D2cos⁡C−D2]{\left[\because \sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2}\right] } =4sin⁡110∘+412−4sin⁡70∘= 4 \sin 110^{\circ}+4 \frac{1}{2}-4 \sin 70^{\circ} =4sin⁡(90∘+20∘)+2−4sin⁡(90∘−20∘)= 4 \sin \left(90^{\circ}+20^{\circ}\right)+2-4 \sin \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right) =4cos⁡20∘+2−4⋅cos⁡20∘= 4 \cos 20^{\circ}+2-4 \cdot \cos 20^{\circ} = 2 ডানপক্ষ =cosec⁡⁡B= \operatorname{\cosec} \mathrm{B} =cosec⁡⁡30∘= \operatorname{\cosec} 30^{\circ} =2= 2 ∴16sin⁡ B3sin⁡5 B3sin⁡7 B3\therefore 16 \sin \frac{\mathrm{~B}}{3} \sin \frac{5 \mathrm{~B}}{3} \sin \frac{7 \mathrm{~B}}{3} =cosec⁡⁡B=\operatorname{\cosec} \mathrm{B}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=45∘,B=30∘\mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{B}=30^{\circ} এবং বাহু, C=3+1\mathrm{C}=\sqrt{3}+1 সে.মি. ∴∠ACB=180∘−(∠B+∠A)\therefore \angle \mathrm{ACB} =180^{\circ}-(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{A}) =180∘−(30∘+45∘)=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+45^{\circ}\right) =180∘−75∘=105∘=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ} question image ΔABC−\Delta \mathrm{ABC}- এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, asin⁡ A=bsin⁡ B=Csin⁡C\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{~A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{~B}}=\frac{\mathrm{C}}{\sin \mathrm{C}} বা, asin⁡45∘=bsin⁡30∘=3+1sin⁡105∘…… (i) \frac{\mathrm{a}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin 105^{\circ}} \ldots \ldots \text{ (i) } এখন, sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)\sin 105^{\circ}=\sin \left(60^{\circ}+45^{\circ}\right) =sin⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡45∘cos⁡60∘=\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cos 60^{\circ} [∵sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B][\because \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B] =32⋅12+12⋅12=3+122=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} (i) নং হতে পাই, asin⁡45∘=bsin⁡30∘=3+13+122\frac{a}{\sin 45^{\circ}}=\frac{b}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} বা, a12=b12=3+13+122\frac{\mathrm{a}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\mathrm{b}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} বা, 2a=2b=3+11×223+1\sqrt{2} a=2 b=\frac{\sqrt{3}+1}{1} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} বা, 2a=2b=22\sqrt{2} a=2 b=2 \sqrt{2} ∴2a=22\therefore \sqrt{2} a=2 \sqrt{2} বা, a=2a=2 এবং 2b=222 b=2 \sqrt{2} ∴b=2\therefore b=\sqrt{2} ∴△ABC\therefore \triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল =12acsin⁡ B=\frac{1}{2} \mathrm{ac} \sin \mathrm{~B} বর্গ একক =12×2(3+1)×sin⁡30∘=\frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times \sin 30^{\circ} বর্গ একক =(3+1)×12=(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{2} বর্গ একক =3+12=\frac{\sqrt{3}+1}{2} বর্গ একক =1+32=\frac{1+\sqrt{3}}{2} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন