Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আত্রে, [গণিত] ধরি, [গণিত] মূল নিয়মে অন্তরজের সঙ্গানুসারে আমরা পাই, [গণিত] বলে, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(θ)=cos⁡θf(\theta) =\cos \theta g(x)=p2emx−q2e−mx;p,q,m>0.g(x) =p^2 e^{m x}-q^2 e^{-m x} ; p, q, m>0 .

Dhaka · 2025

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡5x3x2=lim⁡x→01−cos⁡25x23x2=lim⁡x→02sin⁡5x23x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 5 x}{3 x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 \frac{5 x}{2}}{3 x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin \frac{5 x}{2}}{3 x^2} =lim⁡x→02sin⁡25x2(5x2)2×3x2×(5x2)2=lim⁡x→0sin⁡25x2(5x2)2×256=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{5 x}{2}}{\left(\frac{5 x}{2}\right)^2 \times 3 x^2} \times\left(\frac{5 x}{2}\right)^2=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 \frac{5 x}{2}}{\left(\frac{5 x}{2}\right)^2} \times \frac{25}{6} =(lim⁡x→0sin⁡5x25x2)2×256=12×256[∵lim⁡x→0sin⁡xx=1]=\left(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{5 x}{2}}{\frac{5 x}{2}}\right)^2 \times \frac{25}{6}=1^2 \times \frac{25}{6}\left[\because \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\right] =256=\frac{25}{6} নির্ণেয় মান : 256\frac{25}{6}.

উত্তর

দেওয়া আত্রে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta ∴(30)=cos⁡3θ\therefore(30)=\cos 3\theta ধরি, g(θ)=cos⁡3θg(\theta)=\cos 3 \theta ∴g(θ+h)=cos⁡3(g+h)=cos⁡(3θ+3h)\therefore g(\theta+h)=\cos 3(g+h)=\cos (3 \theta+3 h) মূল নিয়মে অন্তরজের সঙ্গানুসারে আমরা পাই, ∴ddθg(θ)=lim⁡h→0g(θ+h)−g(θ)h\therefore \frac{d}{d \theta} g(\theta)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(\theta+h)-g(\theta)}{h} ∴ddθ(cos⁡3θ)=lim⁡h→0cos⁡(3θ+3h)−cos⁡3θhh\therefore \frac{d}{d \theta}(\cos 3 \theta)=\frac{\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (3 \theta+3 h)-\cos 3 \theta}{h}}{h} lim⁡h→02sin⁡(3θ+3h+3θ2)sin⁡(3θ−3θ−3h2)h\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin \left(\frac{3 \theta+3 h+3 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{3 \theta-3 \theta-3 h}{2}\right)}{h} =lim⁡h→02sin⁡(3θ+3h2)sin⁡(−3h2)h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin \left(3 \theta+\frac{3 h}{2}\right) \sin \left(-\frac{3 h}{2}\right)}{h} =lim⁡h→0sin⁡(3θ+3h2)×lim⁡h→0−sin⁡(3h2)h=\lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(3 \theta+\frac{3 h}{2}\right) \times \frac{\lim_{h \rightarrow 0}-\sin \left(\frac{3 h}{2}\right)}{h} =2lim⁡h→0sin⁡(3θ+3h2)×lim⁡h→0h−sin⁡(3h2)h=2 \lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(3 \theta+\frac{3 h}{2}\right) \times \frac{\lim_{h \rightarrow 0}}{h} \frac{-\sin \left(\frac{3 h}{2}\right)}{h} =2lim⁡h→0sin⁡(3θ+3h2)×{(−)lim⁡22sin⁡3h23h2×32}=2 \lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(3 \theta+\frac{3 h}{2}\right) \times\left\{(-) \frac{\lim_2}{2} \frac{\sin \frac{3 h}{2}}{\frac{3 h}{2}} \times \frac{3}{2}\right\} [∵h→0\left[\because h \rightarrow 0\right. বলে, 3h2→0]\left.\frac{3 h}{2} \rightarrow 0\right] =2sin⁡3θ×(−32)=−3sin⁡3θ.=2 \sin 3 \theta \times\left(-\frac{3}{2}\right)=-3 \sin 3 \theta .

উত্তর

ধরি, y=g(x)=p2emx−q2e−mxx\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}^2 \mathrm{e}^{\mathrm{mx}}-\mathrm{q}^2 \mathrm{e}^{-\mathrm{mx}} x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=p2memx−q2(−m)e−mx=mp2emx+mq2e−mx\frac{d y}{d x} =p^2 m e^{m x}-q^2(-m) e^{-m x}=m p^2 e^{m x}+m q^2 e^{-m x} =m(p2emx+q2e−mx)=m\left(p^2 e^{m x}+q^2 e^{-m x}\right) পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=m2p2emx−m2q2e−mx=m2(p2emx−q2e−mx)\frac{d^2 y}{d x^2}=m^2 p^2 e^{m x}-m^2 q^2 e^{-m x}=m^2\left(p^2 e^{m x}-q^2 e^{-m x}\right) চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, m(p2emx+q2e−mx)=0m\left(p^2 e^{m x}+q^2 e^{-m x}\right)=0 বা, p2emx+q2e−mx=0p^2 e^{m x}+q^2 e^{-m x}=0 বা, p2emx=−q2e−mxp^2 e^{m x}=-q^2 e^{-m x} বা, emxe−mx=−q2p2\frac{\mathrm{e}^{m x}}{\mathrm{e}^{-m x}}=-\frac{\mathrm{q}^2}{\mathrm{p}^2} বা, e2mx=−q2p2\mathrm{e}^{2 m x}=-\frac{\mathrm{q}^2}{\mathrm{p}^2} বা, (emx)2=−q2p2\left(e^{m x}\right)^2=-\frac{q^2}{p^2} ∴x\therefore x এর এমন কোনো বাস্তব মান নেই যার জন্য dydx=0\frac{d y}{d x}=0 হবে। সুতরাৎ g(x)g(x) এর চরম মান বিদ্যমান নেই।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন